Dépréciation d’une voiture — Antilles-Guyane 2026

Énoncé

On s’intéresse à l’évolution de la valeur d’une voiture.

En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à 10 000 euros.

On suppose qu’ensuite, chaque année, la valeur diminue de 10 %.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l’année $2025+n$ . On a donc $u_0=10\,000$ .

a. Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.

b. Justifier que pour tout entier naturel $n$ , on a $u_{n+1}=0{,}9u_n$ .
En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.
a. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$ .

b. En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030.

On pourra s’aider de l’aide au calcul ci-dessous.
$0{,}9^4=0{,}6561, \qquad 0{,}9^5=0{,}59049, \qquad 0{,}9^6=0{,}531441.$
On considère le programme Python ci-dessous.

def seuil(A):
    N = 0
    U = 10000
    while .........:
        U = .......
        N = N+1
    return N

Recopier et compléter ce programme afin qu’il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n<A$ , où $A$ est un nombre réel strictement positif.

L’exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$ , donne les résultats suivants :

>>> seuil(7500)
3
>>> seuil(5000)
7
>>> seuil(2500)
14
>>> seuil(2000)
16

a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel seuil(5000).

b. Déterminer, en expliquant la démarche, l’année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Calculer l’évolution annuelle

a. Diminuer une valeur de 10 % revient à la multiplier par $1-\dfrac{10}{100}=0{,}9$ . Ainsi, en janvier 2026, la voiture vaut :

10\,000\times0{,}9=\boxed{9\,000\text{ euros}}.

b. D’une année à la suivante, la valeur subit la même baisse de 10 %. Pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1}=u_n\times0{,}9=\boxed{0{,}9u_n}.

2. Reconnaître la suite

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $0{,}9$ . La suite $(u_n)$ est donc géométrique, de premier terme $u_0=10\,000$ et de raison $q=0{,}9$ .

3. Exprimer puis calculer un terme

a. Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ , on a $u_n=u_0q^n$ . Ici :

\boxed{u_n=10\,000\times0{,}9^n}.

b. Janvier 2030 correspond à $2025+n=2030$ , donc à $n=5$ . Par conséquent :

u_5=10\,000\times0{,}9^5 =10\,000\times0{,}59049 =5\,904{,}9.

La voiture vaut donc 5 904,90 euros en janvier 2030.

4. Compléter le programme

La boucle doit continuer tant que la valeur U n’est pas encore strictement inférieure au seuil A. À chaque passage, la valeur est multipliée par $0{,}9$ .

def seuil(A):
    N = 0
    U = 10000
    while U >= A:
        U = 0.9 * U
        N = N+1
    return N

Lorsque la boucle s’arrête, N est bien le plus petit rang pour lequel $u_N<A$ .

5. Interpréter les résultats

a. L’appel seuil(5000) renvoie $7$ . Cela signifie que $u_7$ est la première valeur de la suite strictement inférieure à 5 000 euros. Comme $2025+7=2032$ , la valeur de la voiture devient inférieure à 5 000 euros pour la première fois en janvier 2032.

b. Perdre plus des trois quarts de la valeur initiale signifie conserver moins d’un quart de cette valeur. Or :

\frac14\times10\,000=2\,500.

On cherche donc le premier rang $n$ tel que $u_n<2\,500$ . Le résultat seuil(2500) vaut $14$ . Comme $2025+14=2039$ , la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale à partir de janvier 2039.