Abonnements et tarifs d’un cinéma

Énoncé

On s’intéresse à l’ensemble des spectateurs d’un cinéma.

On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 18 ans ou moins.

On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d’établir les résultats suivants :

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :

Calculer la probabilité $P(A\cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Démontrer que $P(J)=0{,}32$ .
On considère l’affirmation suivante :

« Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d’une chance sur deux qu’il soit abonné ».

Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
Le prix d’une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
- un spectateur non abonné paie sa place 5 euros, quel que soit son âge ;
- un spectateur abonné et n’étant pas jeune paie sa place 2 euros ;
- un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c’est gratuit.
On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu’il doit payer pour sa place de cinéma.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .

b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Les premières branches portent les probabilités :

P(A)=0{,}6 \qquad\text{et}\qquad P(\overline A)=1-0{,}6=0{,}4.

Parmi les abonnés, 40 % des spectateurs sont jeunes. On obtient donc :

P_A(J)=0{,}4 \qquad\text{et}\qquad P_A(\overline J)=1-0{,}4=0{,}6.

Parmi les spectateurs non abonnés, 20 % sont jeunes. Ainsi :

P_{\overline A}(J)=0{,}2 \qquad\text{et}\qquad P_{\overline A}(\overline J)=1-0{,}2=0{,}8.

Le chemin qui conduit à $A\cap J$ porte les probabilités $P(A)$ et $P_A(J)$ . La règle du produit donne :

P(A\cap J)=P(A)\times P_A(J) =0{,}6\times0{,}4 =\boxed{0{,}24}.

Ainsi, 24 % des spectateurs sont à la fois abonnés et jeunes.

L’événement $J$ peut être atteint par deux chemins incompatibles : $A\cap J$ et $\overline A\cap J$ . D’après la formule des probabilités totales :

\begin{aligned} P(J) &=P(A\cap J)+P(\overline A\cap J)\\ &=0{,}24+P(\overline A)\times P_{\overline A}(J)\\ &=0{,}24+0{,}4\times0{,}2\\ &=0{,}24+0{,}08\\ &=\boxed{0{,}32}. \end{aligned}

On cherche la probabilité qu’un spectateur soit abonné sachant qu’il est jeune, c’est-à-dire $P_J(A)$ :

P_J(A) =\frac{P(A\cap J)}{P(J)} =\frac{0{,}24}{0{,}32} =\frac34 =0{,}75.

Cette probabilité est supérieure à $0{,}5$ . L’affirmation est donc exacte : parmi les spectateurs jeunes, 75 % sont abonnés.

a. La variable aléatoire $X$ peut prendre trois valeurs :

$X=0$ pour les spectateurs abonnés et jeunes, donc $P(X=0)=P(A\cap J)=0{,}24$ ;
$X=2$ pour les spectateurs abonnés et non jeunes, donc $P(X=2)=P(A)\times P_A(\overline J)=0{,}6\times0{,}6=0{,}36$ ;
$X=5$ pour tous les spectateurs non abonnés, donc $P(X=5)=P(\overline A)=0{,}4$ .

La loi de probabilité de $X$ est donc :

Prix $x_i$ en euros	$0$	$2$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}24$	$0{,}36$	$0{,}40$

On vérifie que $0{,}24+0{,}36+0{,}40=1$ .

b. L’espérance de $X$ vaut :

\begin{aligned} E(X) &=0\times0{,}24+2\times0{,}36+5\times0{,}40\\ &=0+0{,}72+2\\ &=\boxed{2{,}72}. \end{aligned}

Sur un grand nombre de spectateurs choisis dans les mêmes conditions, le prix moyen payé pour une place est d’environ 2,72 euros.