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SUJET OFFICIEL · 26-MATGEG11

Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Centres étrangers, groupe 1 — sans spécialité mathématiques

Le QCM et les trois exercices sont réunis dans l’ordre du sujet original.

Durée officielle
2 h
Barème
20 points
Calculatrice
Interdite
Parcours
Sans spécialité maths

L’épreuve comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une deuxième partie sur 14 points. Les corrections proposées ne sont pas des corrigés officiels.

MODE DE TRAVAIL

Vue complète du sujet

Temps restant

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 12 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions
12
Temps indicatif
12 min
Barème
6 points

Les réponses restent dans votre navigateur et ne sont pas enregistrées.

Afficher le QCM sous forme de sujet

  1. Question 1. On considère A=4−2×13A=4-2\times\frac13. On a :

    1. A=23A=\frac23
    2. A=103A=\frac{10}{3}
    3. A=43A=\frac43
    4. A=113A=\frac{11}{3}

  2. Question 2. On considère B=2×52+3B=2\times5^2+3. On a :

    1. B=103B=103
    2. B=53B=53
    3. B=97B=97
    4. B=23B=23

  3. Question 3. 25 % de 250 est égal à :

    1. 62,5
    2. 125
    3. 50
    4. 225

  4. Question 4. Un article coûtant 300 € subit une baisse de 15 %. Pour obtenir le prix de cet article après la baisse, il faut faire le calcul :

    1. 300 − 0,15
    2. 300 × 0,85
    3. 300 × 1,15
    4. 300 × 0,15

  5. Question 5. Dans un repère du plan, on a représenté la droite (AB). L’équation réduite de la droite (AB) est :

    Représentation graphique de l’énoncé-2-1123456-11234
    1. y=4x+2y=4x+2
    2. y=−2x+2y=-2x+2
    3. y=2x+4y=2x+4
    4. y=−0,5x+2y=-0{,}5x+2

  6. Question 6. La valeur de 2x2−3x−42x^2-3x-4 pour x=−1x=-1 est :

    1. −9-9
    2. −3-3
    3. −5-5
    4. 11

  7. Question 7. L’expression (x−4)2(x-4)^2 est égale à :

    1. x2−8x+16x^2-8x+16
    2. x2+8x+16x^2+8x+16
    3. x2−8x−16x^2-8x-16
    4. x2+8x−16x^2+8x-16

  8. Question 8. Voici la courbe représentative d’une fonction ff définie sur [−6;5][-6;5]. L’ensemble SS des solutions de l’inéquation f(x)≥3f(x)\geq3 est :

    Représentation graphique de l’énoncé-6-5-4-3-2-112345-3-2-11234
    1. S=[−6;−5]∪[−2;5]S=[-6;-5]\cup[-2;5]
    2. S={−5;−2}S=\{-5;-2\}
    3. S=[−5;−2]S=[-5;-2]
    4. S={−3}S=\{-3\}

  9. Question 9. L’ensemble SS des solutions de (2x+4)(−3x−9)=0(2x+4)(-3x-9)=0 est :

    1. S={−5}S=\{-5\}
    2. S={−4;9}S=\{-4;9\}
    3. S={−2;3}S=\{-2;3\}
    4. S={−3;−2}S=\{-3;-2\}

  10. Question 10. Soit F=G×m1m2R2F=G\times\frac{m_1m_2}{R^2}. On a :

    1. m1=FGR2m2m_1=\frac{FG}{R^2m_2}
    2. m1=FR2Gm2m_1=\frac{FR^2}{Gm_2}
    3. m1=GR2Fm2m_1=\sqrt{\frac{GR^2}{Fm_2}}
    4. m1=FR2Gm2m_1=FR^2Gm_2

  11. Question 11. On considère l’arbre pondéré ci-dessous. On a :

    Arbre de probabilitésLes premières branches conduisent aux événements A et contraire de A, avec les probabilités 0,2 et 0,8. Chaque branche se divise ensuite entre B et son événement contraire.0,30,70,40,60,20,8BBBBAA
    1. PAˉ(Bˉ)=0,3P_{\bar A}(\bar B)=0{,}3
    2. PAˉ(Bˉ)=0,48P_{\bar A}(\bar B)=0{,}48
    3. PAˉ(Bˉ)=0,8P_{\bar A}(\bar B)=0{,}8
    4. PAˉ(Bˉ)=0,6P_{\bar A}(\bar B)=0{,}6

  12. Question 12. On considère l’arbre pondéré ci-dessous. On a :

    Arbre de probabilitésLes premières branches conduisent aux événements A et contraire de A, avec les probabilités 0,2 et 0,8. Chaque branche se divise ensuite entre B et son événement contraire.0,30,70,40,60,20,8BBBBAA
    1. PA(Bˉ)=0,3P_A(\bar B)=0{,}3
    2. PA(Bˉ)=0,2P_A(\bar B)=0{,}2
    3. PA(Bˉ)=0,14P_A(\bar B)=0{,}14
    4. PA(Bˉ)=0,7P_A(\bar B)=0{,}7
Voir les réponses du QCM
  1. Question 1 : A=103A=\frac{10}{3}
  2. Question 2 : B=53B=53
  3. Question 3 : 62,5
  4. Question 4 : 300 × 0,85
  5. Question 5 : y=−0,5x+2y=-0{,}5x+2
  6. Question 6 : 11
  7. Question 7 : x2−8x+16x^2-8x+16
  8. Question 8 : S=[−5;−2]S=[-5;-2]
  9. Question 9 : S={−3;−2}S=\{-3;-2\}
  10. Question 10 : m1=FR2Gm2m_1=\frac{FR^2}{Gm_2}
  11. Question 11 : PAˉ(Bˉ)=0,6P_{\bar A}(\bar B)=0{,}6
  12. Question 12 : PA(Bˉ)=0,7P_A(\bar B)=0{,}7

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Enquête de satisfaction d’une compagnie aérienne

5 points
30 min conseillées

Énoncé

Une compagnie aérienne mène une enquête de satisfaction auprès de ses clients. Les deux questions posées lors de cette enquête sont les suivantes :

  • « Avez-vous acheté votre billet d’avion en agence de voyage ou par internet ? » ;
  • « Êtes-vous satisfait des services proposés par notre compagnie ? ».

Les résultats de l’enquête sont donnés dans le tableau suivant.

Billet acheté par internetBillet acheté en agenceTotal
Satisfait720180900
Pas satisfait8020100
Total8002001 000

On choisit au hasard un client ayant répondu aux deux questions.

On considère les événements suivants :

  • SS : « Le client est satisfait » ;
  • II : « Le client a acheté son billet par internet ».

  1. Calculer la probabilité qu’un client soit satisfait.

  2. Calculer la probabilité de l’événement S∩IS\cap I. Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase.

  3. Calculer PS(I)P_S(I).

  4. Les événements II et SS sont-ils indépendants ? Justifier.

  5. Le service marketing de la compagnie aérienne affirme que 90 % des clients qui ont acheté leur billet en agence sont satisfaits. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Probabilité d’être satisfait

Parmi les 1 000 clients interrogés, 900 sont satisfaits. Ainsi :

P(S)=9001 000=0,9.P(S)=\frac{900}{1\,000}=\boxed{0{,}9}.

2. Satisfait et achat sur internet

La case commune à la ligne « client satisfait » et à la colonne « billet acheté sur internet » contient 720 clients :

P(S∩I)=7201 000=0,72.P(S\cap I)=\frac{720}{1\,000}=\boxed{0{,}72}.

Cela signifie que 72 % des clients interrogés sont satisfaits et ont acheté leur billet sur internet.

3. Probabilité conditionnelle

Parmi les 900 clients satisfaits, 720 ont acheté leur billet sur internet :

PS(I)=P(S∩I)P(S)=720900=0,8.P_S(I)=\frac{P(S\cap I)}{P(S)} =\frac{720}{900} =\boxed{0{,}8}.

4. Indépendance

On a :

P(I)=8001 000=0,8etPS(I)=0,8.P(I)=\frac{800}{1\,000}=0{,}8 \qquad\text{et}\qquad P_S(I)=0{,}8.

Comme PS(I)=P(I)P_S(I)=P(I), les événements II et SS sont indépendants.

5. Vérifier l’affirmation du service marketing

Parmi les 200 clients ayant acheté leur billet dans une agence, 180 sont satisfaits. La proportion cherchée vaut :

180200=0,9=90 %.\frac{180}{200}=0{,}9=90\,\%.

L’affirmation du service marketing est donc exacte.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Étudier les variations d’une fonction polynôme

4 points
25 min conseillées

Énoncé

Soit la fonction ff définie et dérivable sur [0;10][0;10] par :

f(x)=−x3+4,5x2−6x+2.f(x)=-x^3+4{,}5x^2-6x+2.

  1. Déterminer f′(x)f'(x) pour tout réel xx appartenant à [0;10][0;10].

  2. Vérifier que, pour tout réel xx appartenant à [0;10][0;10] :

    f′(x)=(3x−6)(1−x).f'(x)=(3x-6)(1-x).

  3. Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur [0;10][0;10].

  4. En déduire les variations de ff sur [0;10][0;10].

    Les valeurs des éventuels maximums et minimums ne sont pas demandées.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Calculer la dérivée

On dérive chaque terme du polynôme :

f′(x)=−3x2+2×4,5x−6=−3x2+9x−6.f'(x)=-3x^2+2\times4{,}5x-6 =\boxed{-3x^2+9x-6}.

2. Vérifier la forme factorisée

Développons l’expression proposée :

(3x−6)(1−x)=3x−3x2−6+6x=−3x2+9x−6=f′(x).(3x-6)(1-x)=3x-3x^2-6+6x=-3x^2+9x-6=f'(x).

On a donc bien f′(x)=(3x−6)(1−x)\boxed{f'(x)=(3x-6)(1-x)}.

3. Étudier le signe de la dérivée

Les deux facteurs s’annulent pour :

3x−6=0  ⟺  x=2et1−x=0  ⟺  x=1.3x-6=0\iff x=2 \qquad\text{et}\qquad 1-x=0\iff x=1.

Sur [0;10][0;10], le produit est négatif avant 1, positif entre 1 et 2, puis négatif après 2.

4. Déduire les variations

Une fonction est croissante lorsque sa dérivée est positive et décroissante lorsque sa dérivée est négative.

xx0011221010
Signe de f′(x)f'(x)−-00++00−-
Variations de ff↘f(1)f(1)↗f(2)f(2)↘

Ainsi, ff est décroissante sur [0;1][0;1], croissante sur [1;2][1;2], puis décroissante sur [2;10][2;10].

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 3

Comparer les effectifs de deux clubs sportifs

5 points
30 min conseillées

Énoncé

En 2025, dans une ville, le club de basketball comptait 900 adhérents. On estime que chaque année, le club perd 10 adhérents.

Pour tout entier naturel nn, on note BnB_n le nombre d’adhérents au club de basket en l’année 2025+n2025+n.

  1. Calculer B1B_1 et interpréter le résultat.

  2. Exprimer BnB_n en fonction de nn.

  3. Justifier qu’entre 2025 et 2035, le club aura perdu plus de 10 % de ses adhérents.

Dans cette même ville en 2025, le club de handball comptait 200 adhérents. Pour les années suivantes, on estime que le nombre d’adhérents au club de handball peut être représenté par le graphique suivant :

Nombre d’adhérents au club de handballOnze points représentent une progression de 200 adhérents en 2025 à environ 1 240 adhérents dix ans plus tard.

  1. Par lecture graphique, estimer, avec la précision permise par le graphique, le nombre d’adhérents au club de handball en 2028.

  2. On modélise le nombre d’adhérents au club de handball l’année 2025+n2025+n par HnH_n et on admet que, pour tout entier naturel nn, Hn+1=1,2×HnH_{n+1}=1{,}2\times H_n. Quelle est la nature de la suite (Hn)(H_n) ? Préciser son premier terme et sa raison.

  3. À partir de quelle année le nombre d’adhérents au club de handball sera-t-il supérieur à celui du club de basket ? Justifier.

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Effectif du club de basket en 2026

Le club perd 10 adhérents en un an :

B1=900−10=890.B_1=900-10=\boxed{890}.

Le club de basket compte donc 890 adhérents en 2026.

2. Expression de BnB_n

La suite (Bn)(B_n) est arithmétique, de premier terme B0=900B_0=900 et de raison −10-10. Par conséquent :

Bn=900−10n.\boxed{B_n=900-10n}.

3. Perte entre 2025 et 2035

L’année 2035 correspond à n=10n=10 :

B10=900−10×10=800.B_{10}=900-10\times10=800.

Le club a perdu 900−800=100900-800=100 adhérents. Rapportée à l’effectif initial, cette perte représente :

100900=19≈0,111,\frac{100}{900}=\frac19\approx0{,}111,

soit environ 11,1 %11{,}1\,\%. Le club aura donc perdu plus de 10 % de ses adhérents.

4. Lecture du graphique

L’année 2028 se situe trois ans après 2025. Pour n=3n=3, le point du graphique a une ordonnée voisine de 350. Le club comptera donc environ 350 adhérents.

5. Nature de la suite (Hn)(H_n)

La relation Hn+1=1,2HnH_{n+1}=1{,}2H_n montre que chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par 1,21{,}2. La suite (Hn)(H_n) est donc géométrique, de premier terme H0=200H_0=200 et de raison 1,21{,}2.

Ainsi, pour tout entier naturel nn :

Hn=200×1,2n.H_n=200\times1{,}2^n.

6. Comparer les deux effectifs

Calculons les effectifs autour du point de croisement visible sur le graphique :

H7=200×1,27≈717etB7=900−10×7=830,H_7=200\times1{,}2^7\approx717 \qquad\text{et}\qquad B_7=900-10\times7=830,H8=200×1,28≈860etB8=900−10×8=820.H_8=200\times1{,}2^8\approx860 \qquad\text{et}\qquad B_8=900-10\times8=820.

Pour n=7n=7, le club de handball compte encore moins d’adhérents. Pour n=8n=8, il en compte davantage. Comme (Hn)(H_n) est croissante et (Bn)(B_n) décroissante, le premier dépassement a lieu en 2025+82025+8, soit en 2033.

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