Comprendre la dérivation des fonctions et s'en servir

En mathématiques et dans beaucoup de domaines voisins (physique, biologie…), on s’interroge souvent sur la manière dont un objet mathématique va évoluer si l’on modifie légèrement la valeur d’un de ses paramètres. En d’autres termes, on cherche à savoir à quel point l’objet étudié est sensible à ce changement.

En classe de seconde, on étudie déjà le signe et les variations d’une fonction à partir de son expression, de sa courbe ou d’un tableau. Introduite en classe de première, la dérivée fournit une méthode systématique pour déterminer le sens de variation d’une fonction et mesurer à quel rythme elle change.

C’est une notion qui peut sembler abstraite au départ, mais elle repose sur des observations et des raisonnements assez naturels. Il est donc possible de s’en construire une bonne intuition.

Cette note introduit la dérivation progressivement, à l’aide d’exemples simples, notamment issus de la physique.

Pente et vitesse : un premier exemple de cinématique

La dérivation est une notion très utile en physique. Si l’on connaît la position d’un objet en fonction du temps, comment retrouver sa vitesse ? Pour un mouvement rectiligne uniforme, deux mesures de position suffisent. Pour une chute, dont la position évolue suivant une parabole, la vitesse change à chaque instant : comment la déterminer ? Et pour des mouvements plus compliqués ? La dérivation apporte une réponse à ces questions en étendant la notion de pente aux courbes, en chaque point où elles sont suffisamment régulières.

Par exemple, si une voiture avance en ligne droite à vitesse constante, connaître sa vitesse permet de prédire sa position à tout instant futur. Supposons que l’on ait mesuré sa position à deux instants, $t_1=0\ \mathrm s$ et $t_2=2\ \mathrm s$, à l’aide de deux photos par exemple. Comment en déduire sa position à l’instant $t_3=10\ \mathrm s$ ?

Pour calculer sa vitesse, il suffit de diviser la distance parcourue par la durée correspondante. Sa vitesse $v$ est donc :

$$v=\frac{\text{variation de la position}}{\text{variation du temps}} =\frac{p(t_2)-p(t_1)}{t_2-t_1} =\frac{20-10}{2-0}=5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.$$

Maintenant que l’on connaît la vitesse de la voiture, on peut en déduire sa position à tout instant $t$ :

$$p(t)=v\,t+p(0).$$

À l’instant $t=10\ \mathrm s$, sa position vaut donc :

$$p(10)=5\times10+10=60\ \mathrm m.$$

C’est l’équation d’une droite dont le coefficient directeur est la vitesse $v$. Sur un graphique représentant la position en fonction du temps, la vitesse est donc la pente de la droite associée.

FIG. 00 · FIGURE

Prévoir une position future

Une voiture se déplace à vitesse constante. On mesure sa position à deux instants différents : comment en déduire sa position future ?

D’une vitesse moyenne à une vitesse instantanée

Considérons maintenant un objet lâché sans vitesse initiale depuis une hauteur $p_0$. En choisissant un axe vertical orienté vers le haut, sa position au cours du temps est donnée par :

$$p(t)=p_0-\frac{1}{2}gt^2.$$

La constante $g\simeq 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ représente l’intensité de la pesanteur, et $p_0$ la position initiale de l’objet. Ce modèle est utilisé jusqu’à l’instant où l’objet atteint le sol.

La courbe obtenue est un arc de parabole. Comme dans l’exemple précédent, on peut calculer la vitesse moyenne entre deux instants distincts $t_1$ et $t_2$ :

$$\begin{aligned} v_{\mathrm{moy}} &=\frac{p(t_2)-p(t_1)}{t_2-t_1}\\ &=-\frac{1}{2}g\,\frac{t_2^2-t_1^2}{t_2-t_1}\\ &=-\frac{1}{2}g(t_1+t_2). \end{aligned}$$

Dans la dernière étape, on utilise $t_2^2-t_1^2=(t_2-t_1)(t_2+t_1)$, puis on simplifie par $t_2-t_1$, qui est non nul. Graphiquement, ce quotient est le coefficient directeur de la droite passant par les deux points de la courbe aux instants $t_1$ et $t_2$ : cette droite est une sécante.

Lorsque $t_1$ et $t_2$ se rapprochent d’un même instant $t$, la vitesse moyenne se rapproche de $-gt$. Dans le même temps, la sécante se rapproche de la tangente à la courbe au point d’abscisse $t$. La vitesse verticale algébrique $v(t)=-gt$ est donc la pente de cette tangente. Sa valeur absolue, $gt$, représente la vitesse au sens usuel.

On retrouve bien ce que l’on attend d’une chute libre : plus le temps passe, plus l’objet tombe vite.

Dans la figure ci-dessous, on choisit $p_0=20\ \mathrm m$ et on utilise l’approximation $g\simeq10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Le modèle devient ainsi $p(t)=20-5t^2$.

FIG. 01 · EXPLORATION

Rapprocher deux instants

Faites varier t₁ et t₂, puis rapprochez les deux instants : observez comment la sécante évolue autour du point A.

t₁

0,5 s

t₂

1,5 s

vitesse moyenne = [p(t₂) − p(t₁)] / (t₂ − t₁)

Lorsque $t_2$ se rapproche de $t_1$, la vitesse moyenne se rapproche de la vitesse instantanée en $t_1$. Dans le même temps, la sécante se rapproche de la tangente : calculer une vitesse instantanée revient donc à déterminer la pente de la courbe position-temps en un point.

Le nombre dérivé : une pente en un point

Maintenant que nous avons expérimenté avec les notions de pente et de taux de variation, nous pouvons formaliser ces observations.

Soit une fonction $f$ définie autour d’un réel $a$. Entre $a$ et $a+h$, son taux de variation est :

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad h\neq 0.$$

FIG. 02 · EXPLORATION

De la sécante à la tangente

Faites varier h pour rapprocher le point M, d’abscisse a+h, du point fixe A, d’abscisse a.

h

1,25

pente de (AM) = [f(a+h) − f(a)] / h = 3,25

Exemple détaillé avec la fonction carrée

Prenons $f(x)=x^2$. Pour calculer $f'(a)$, partons du taux de variation :

$$\begin{aligned} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} &=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\ &=\frac{2ah+h^2}{h}\\ &=2a+h. \end{aligned}$$

La dernière simplification est possible car $h\neq 0$. Lorsque $h$ se rapproche de $0$, $2a+h$ se rapproche de $2a$. Ainsi :

$$\boxed{f'(a)=2a}.$$

Par exemple, au point d’abscisse $3$, la tangente à la parabole $y=x^2$ a pour pente $f'(3)=6$.

L’équation de la tangente

La tangente au point $A(a;f(a))$ passe par $A$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$. Or une droite de coefficient directeur $m$ passant par $(x_A;y_A)$ vérifie :

$$y-y_A=m(x-x_A).$$

En remplaçant $m$, $x_A$ et $y_A$, on obtient l’équation de la tangente :

$$\boxed{y=f(a)+f'(a)(x-a)}.$$

Pour $f(x)=x^2$ au point d’abscisse $a=2$, on a $f(2)=4$ et $f'(2)=4$. La tangente a donc pour équation :

$$y=4+4(x-2)=4x-4.$$

La tangente comme approximation locale

Avec la fonction carrée, cette approximation oublie seulement le terme $h^2$ :

$$(a+h)^2=a^2+2ah+h^2\approx a^2+2ah.$$

Plus $h$ est petit, plus $h^2$ est petit et meilleure est l’approximation.

De nombres dérivés à une fonction dérivée

Le nombre dérivé dépend du point choisi. En associant à chaque abscisse $x$ le nombre dérivé $f'(x)$, on construit une nouvelle fonction appelée fonction dérivée de $f$.

$$x\longmapsto f'(x).$$

Il ne faut pas confondre :

• $f(x)$, qui donne l’ordonnée d’un point de la courbe ;
• $f'(x)$, qui donne la pente de la tangente en ce point.

FIG. 03 · EXPLORATION

Relier la courbe à sa dérivée

Déplacez a : la pente de la tangente en haut devient l’ordonnée du point placé sur f′ en bas.

a

−1

f(x) = x³ − 3x ; f′(x) = 3x² − 3

Pour a = −1, f′(a) = 0 : localement, la tangente est horizontale.

Dérivées à connaître

Pourquoi la dérivée de la fonction inverse vaut-elle $-1/x^2$ ?

Pour $a\neq 0$, et pour $h$ assez petit afin que $a+h\neq 0$ :

$$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h} &=\frac{a-(a+h)}{a(a+h)h}\\ &=\frac{-h}{a(a+h)h}\\ &=-\frac{1}{a(a+h)}. \end{aligned}$$

Lorsque $h$ se rapproche de $0$, cette expression se rapproche de $-1/a^2$. Donc la fonction inverse est dérivable sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ et :

$$\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}.$$

Règles de calcul

Démonstration de la formule du produit

Pour faire apparaître séparément les variations de $f$ et de $g$, on ajoute et on retranche le même terme $f(a+h)g(a)$ :

$$\begin{aligned} &\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a)}{h}\\ ={}&\frac{f(a+h)g(a+h)-f(a+h)g(a)}{h}\\ &+\frac{f(a+h)g(a)-f(a)g(a)}{h}\\ ={}&f(a+h)\frac{g(a+h)-g(a)}{h} +g(a)\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \end{aligned}$$

Une fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ : ainsi, lorsque $h$ se rapproche de $0$, $f(a+h)$ se rapproche de $f(a)$. Dans le même temps, les deux quotients se rapprochent de $g'(a)$ et $f'(a)$. On obtient :

$$\boxed{(fg)'(a)=f(a)g'(a)+g(a)f'(a)}.$$

Exemple 1 : dériver un polynôme terme à terme

Soit $f(x)=3x^3-5x^2+2x-7$. On dérive chaque terme :

$$\begin{aligned} f'(x) &=3\times 3x^2-5\times 2x+2\times 1-0\\ &=9x^2-10x+2. \end{aligned}$$

Exemple 2 : appliquer la formule du quotient

Soit $g(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, définie pour $x\neq0$. Posons $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x$. Alors $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$, donc :

$$\begin{aligned} g'(x) &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{2x\times x-(x^2+1)\times1}{x^2}\\ &=\frac{x^2-1}{x^2}. \end{aligned}$$

Étudier les variations d’une fonction

Étudions $f(x)=x^3-3x$. Sa dérivée est :

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Les racines de $f'$ sont $-1$ et $1$. Comme $3>0$, le produit est positif à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines et négatif à l’intérieur. On en déduit le tableau de variations :

Ainsi, $f$ est croissante sur $]-\infty;-1]$, décroissante sur $[-1;1]$, puis croissante sur $[1;+\infty[$. Le signe de $f'$ passe de $+$ à $-$ en $-1$ : $f$ y possède un maximum local. Il passe de $-$ à $+$ en $1$ : $f$ y possède un minimum local.

Optimiser une aire

On veut construire un rectangle de périmètre $20$ m. Si sa largeur vaut $x$, sa longueur vaut $10-x$, avec $0<x<10$. Son aire est :

$$A(x)=x(10-x)=10x-x^2.$$

On dérive : $A'(x)=10-2x$. Cette dérivée est positive pour $x<5$, nulle pour $x=5$ et négative pour $x>5$. L’aire augmente donc jusqu’à $5$, puis diminue. Elle est maximale pour $x=5$ : le rectangle optimal est un carré d’aire $25\ \mathrm{m^2}$.

Quand une fonction n’est-elle pas dérivable ?

Pour être dérivable en $a$, une fonction doit d’abord être définie en $a$, et le taux de variation doit se rapprocher d’un nombre réel unique et fini. Trois obstacles différents sont illustrés ci-dessous. Ce ne sont que des exemples : il existe d’autres situations dans lesquelles une fonction n’est pas dérivable.

FIG. 04 · EXPLORATION

Reconnaître un obstacle à la dérivabilité

Comparez un angle, une pente qui devient verticale et un point absent du domaine.

|x|√x1/x

f(x) = |x|

À gauche de 0, la pente vaut −1 ; à droite, elle vaut 1. Il n’existe pas de pente unique en 0.

Repère hors programme — Continuité. Une fonction dérivable en $a$ est nécessairement continue en $a$. Intuitivement, si sa courbe présente une rupture ou un saut en ce point, elle ne peut donc pas y posséder de dérivée. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable, comme la fonction valeur absolue en $0$.

Un angle : la fonction valeur absolue

Pour $f(x)=|x|$ en $0$ :

$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}.$$

Si $h>0$, le quotient vaut $1$. Si $h<0$, il vaut $-1$. Les deux côtés ne donnent pas la même pente : $|x|$ n’est donc pas dérivable en $0$.

Une pente qui devient verticale : la fonction racine carrée

Pour $f(x)=\sqrt{x}$ en $0$, on ne peut approcher que par la droite, car la fonction est définie sur $[0;+\infty[$. Pour $h>0$ :

$$\frac{f(h)-f(0)}{h} =\frac{\sqrt h}{h} =\frac{1}{\sqrt h}.$$

Ce quotient augmente sans borne lorsque $h$ se rapproche de $0$. Il ne se rapproche donc pas d’un nombre réel fini : la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$, même si sa courbe possède une demi-tangenteGlossaire · PremièreTangenteLa tangente à une courbe en un point est la droite qui indique la direction de la courbe au voisinage de ce point.On l’interprète comme la position limite des sécantes lorsque le second point se rapproche du point étudié.Son coefficient directeur au point d’abscisse a est le nombre dérivé f′(a).Fermer verticale.

Un point absent du domaine : la fonction inverse

La fonction $f(x)=1/x$ n’est pas définie en $0$. Elle ne peut donc pas y être dérivable : on ne parle pas d’un angle ou d’une tangente verticale au point d’abscisse $0$, puisqu’aucun point de la courbe n’a cette abscisse. En revanche, elle est dérivable en tout réel $x\neq0$, avec $f'(x)=-1/x^2$.

Synthèse

• Un taux de variation mesure une variation moyenne entre deux abscisses : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Le nombre dérivé $f'(a)$ est la valeur vers laquelle tend ce quotient lorsque $h$ se rapproche de $0$.
• Graphiquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d’abscisse $a$.
• La tangente en $a$ a pour équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.
• Près de $a$, on peut utiliser l’approximation $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$.
• Le signe de $f'$ donne le sens de variation de $f$.
• Avant de dériver en un point, il faut vérifier que la fonction y est définie et que le taux de variation tend vers un nombre réel unique et fini.

Exercices d’application

Exercice 1 — Retrouver une vitesse

Un mobile passe par les points $(1;7)$ et $(4;19)$ d’un graphique position-temps, avec le temps en secondes et la position en mètres. Le mouvement est rectiligne uniforme. Calculer sa vitesse.

Voir la correction de l’exercice 1

La variation de position vaut $19-7=12$ m et la durée vaut $4-1=3$ s. Donc :

$$v=\frac{19-7}{4-1}=\frac{12}{3}=4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.$$

Exercice 2 — Nombre dérivé et tangente

Pour $f(x)=x^2$, déterminer le nombre dérivéGlossaire · PremièreNombre dérivéLe nombre dérivé d’une fonction en un point mesure sa variation instantanée en ce point.Il est obtenu comme la valeur limite du taux de variation lorsque les deux abscisses se rapprochent.Graphiquement, f′(a) est la pente de la tangente au point d’abscisse a.Fermer $f'(2)$ puis l’équation de la tangente au point d’abscisse $2$.

Voir la correction de l’exercice 2

Comme $(x^2)'=2x$, on a $f'(2)=4$. De plus, $f(2)=4$. L’équation de la tangente est donc :

$$y=f(2)+f'(2)(x-2)=4+4(x-2)=4x-4.$$

Exercice 3 — Dériver un polynôme

Déterminer la dérivée de $f(x)=2x^3-3x^2+5$.

Voir la correction de l’exercice 3

On dérive terme à terme :

$$f'(x)=2\times3x^2-3\times2x+0=6x^2-6x.$$

Exercice 4 — Dériver un quotient

Soit $g(x)=\dfrac{x+1}{x}$ pour $x\neq0$. Calculer $g'(x)$.

Voir la correction de l’exercice 4

Avec $u(x)=x+1$ et $v(x)=x$, on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$. Ainsi :

$$g'(x)=\frac{1\times x-(x+1)\times1}{x^2} =\frac{-1}{x^2}.$$

Exercice 5 — Étudier des variations

Étudier les variations de $f(x)=x^2-4x+1$ sur $\mathbb R$ et déterminer son minimum.

Voir la correction de l’exercice 5

La dérivée est $f'(x)=2x-4=2(x-2)$. Elle est négative si $x<2$, nulle en $2$ et positive si $x>2$. Ainsi, $f$ est décroissante sur $]-\infty;2]$ puis croissante sur $[2;+\infty[$. Son minimum est atteint en $2$ et vaut :

$$f(2)=2^2-4\times2+1=-3.$$

Exercice 6 — Dérivable ou non en zéro ?

Pour chacune des fonctions $|x|$, $\sqrt{x}$ et $1/x$, expliquer ce qui se passe en $0$.

Voir la correction de l’exercice 6

• Pour $|x|$, les pentes à gauche et à droite valent respectivement $-1$ et $1$ : la fonction n’est pas dérivable en $0$.
• Pour $\sqrt{x}$, le taux de variation à droite vaut $1/\sqrt h$ et augmente sans borne : la fonction n’est pas dérivable en $0$.
• Pour $1/x$, la fonction n’est pas définie en $0$ : la dérivabilité ne peut donc pas y être étudiée.

S’entraîner avec un exercice du bac

L’exercice 3 du sujet 2026 des Centres étrangers mobilise la lecture graphique d’un nombre dérivé, le calcul d’une dérivée, l’étude des variations et la recherche d’une tangente parallèle à une droite.

Faire l’exercice officiel et consulter sa correction Voir tous les exercices du bac sur la dérivation