Les identités remarquables : les comprendre et les utiliser

Les identités remarquables sont trois égalités qui permettent de transformer rapidement certaines expressions algébriques. Elles ne sont pas des formules isolées à réciter : elles viennent directement de la distributivité.

L’enjeu principal est donc de reconnaître la structure d’une expression. Une même identité peut être lue de gauche à droite pour développer, ou de droite à gauche pour factoriser.

Les trois identités à connaître

Pour tous nombres $a$ et $b$ :

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$ $$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Dans les deux premières identités, le terme du milieu est appelé le double produit : il vaut $2ab$. C’est le terme le plus souvent oublié.

Idée essentielle. Le carré porte sur toute la parenthèse. Ainsi, $(a+b)^2$ signifie $(a+b)(a+b)$, et non $a^2+b^2$.

Pourquoi la première identité fonctionne

Partons de la définition d’un carré, puis appliquons la double distributivité :

$$\begin{aligned} (a+b)^2 &= (a+b)(a+b) \\ &= a^2+ab+ba+b^2 \\ &= a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$

La même décomposition peut se voir avec l’aire d’un carré de côté $a+b$.

a² ab ab b²

Pour la deuxième identité, le raisonnement est identique :

$$\begin{aligned} (a-b)^2 &= (a-b)(a-b) \\ &= a^2-ab-ab+b^2 \\ &= a^2-2ab+b^2. \end{aligned}$$

Enfin, les deux termes opposés s’annulent dans le produit d’une somme par une différence :

$$\begin{aligned} (a-b)(a+b) &= a^2+ab-ab-b^2 \\ &= a^2-b^2. \end{aligned}$$

Développer avec une identité remarquable

Développer consiste à transformer un produit en somme. Considérons :

$$A=(3x-2)^2.$$

On reconnaît la forme $(a-b)^2$ avec $a=3x$ et $b=2$. On applique alors l’identité en conservant les parenthèses pendant le calcul :

$$\begin{aligned} A &= (3x)^2-2\times(3x)\times2+2^2 \\ &= 9x^2-12x+4. \end{aligned}$$

Le carré de $3x$ vaut $9x^2$, et non $3x^2$. Le coefficient $3$ est lui aussi élevé au carré.

Factoriser en reconnaissant une structure

Factoriser consiste à transformer une somme en produit. Il faut cette fois reconnaître les termes caractéristiques d’une identité.

Prenons :

$$B=x^2+10x+25.$$

Les termes extrêmes sont des carrés : $x^2=x^2$ et $25=5^2$. Vérifions le terme du milieu :

$$2\times x\times5=10x.$$

Les trois termes correspondent donc à $a^2+2ab+b^2$, avec $a=x$ et $b=5$ :

$$B=(x+5)^2.$$

Pour une différence de deux carrés, la reconnaissance est encore plus directe :

$$\begin{aligned} C &=49x^2-16 \\ &=(7x)^2-4^2 \\ &=(7x-4)(7x+4). \end{aligned}$$

Comment choisir le bon sens

Avant de calculer, observez la forme de l’expression :

• une parenthèse au carré suggère l’une des deux premières identités ;
• deux parenthèses presque identiques, avec un signe différent, suggèrent une différence de carrés ;
• trois termes dont les extrêmes sont des carrés peuvent former un carré parfait ;
• une différence entre deux carrés peut être factorisée.

Le but du calcul guide aussi le choix. Développer aide souvent à réduire une expression ou à comparer ses coefficients. Factoriser aide à résoudre une équation produit nul, à simplifier une fraction ou à étudier un signe.

Erreurs fréquentes et contrôles rapides

Oublier le double produit

L’égalité $(a+b)^2=a^2+b^2$ est fausse en général. Avec $a=2$ et $b=3$, le membre de gauche vaut $25$, tandis que le membre de droite vaut $13$.

Donner le mauvais signe au dernier terme

Dans $(a-b)^2$, le dernier terme reste positif :

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.$$

En effet, le produit $(-b)\times(-b)$ vaut $b^2$.

Confondre différence et somme de deux carrés

La différence $a^2-b^2$ se factorise en $(a-b)(a+b)$. En revanche, la somme $a^2+b^2$ ne possède pas d’identité analogue en deux facteurs du premier degré à coefficients réels.

Contrôler avec une valeur simple

Après une transformation, choisir par exemple $x=0$ ou $x=1$ permet de comparer rapidement la valeur de l’expression initiale et celle du résultat. Ce contrôle ne remplace pas une démonstration, mais il détecte de nombreuses erreurs.

Exercice d’application

Développer ou factoriser les expressions suivantes :

$$\begin{aligned} D&=(2x+3)^2, \\ E&=x^2-14x+49, \\ F&=25x^2-9, \\ G&=(x+4)^2-(x-4)^2. \end{aligned}$$

Prenez le temps d’indiquer l’identité utilisée et les valeurs choisies pour $a$ et $b$.

Correction

Pour $D$, on utilise $(a+b)^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ :

$$D=4x^2+12x+9.$$

Pour $E$, on reconnaît $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=7$ :

$$E=(x-7)^2.$$

Pour $F$, on reconnaît une différence de deux carrés :

$$F=(5x-3)(5x+3).$$

Pour $G$, on peut poser $a=x+4$ et $b=x-4$, puis utiliser $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ :

$$\begin{aligned} G &=\big[(x+4)-(x-4)\big]\big[(x+4)+(x-4)\big] \\ &=8\times2x \\ &=16x. \end{aligned}$$

À retenir

Les identités remarquables deviennent fiables lorsque l’on sait :

1. reconnaître une somme, une différence et un produit ;
2. identifier précisément $a$ et $b$ ;
3. vérifier le double produit ;
4. utiliser l’égalité dans les deux sens ;
5. contrôler ponctuellement le résultat avec une valeur simple.

La prochaine étape consiste à les utiliser dans des équations, puis dans l’étude des fonctions polynômes du second degré.