Activités artistiques et sportives

Énoncé

Dans un lycée, on peut s’inscrire à deux clubs qui proposent des activités artistiques ou sportives.

On constate que :

40 % des élèves inscrits aux clubs ont choisi des activités artistiques ;
parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, 20 % ont aussi choisi des activités sportives ;
parmi les élèves n’ayant pas choisi des activités artistiques, 40 % ont choisi des activités sportives.

Parmi l’ensemble des élèves inscrits à ces clubs, on choisit un élève au hasard.

On note les événements suivants :

$A$ : « l’élève choisi est inscrit à une activité artistique » ;
$S$ : « l’élève choisi est inscrit à une activité sportive ».

Pour un événement quelconque $E$ , on note $\overline E$ l’événement contraire de $E$ , $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l’événement $F$ .

Déterminer $P_A(S)$ et $P_{\overline A}(S)$ .
Recopier et compléter sur votre copie l’arbre de probabilités suivant :

Calculer $P(A\cap S)$ et $P(\overline A\cap S)$ .

On admet que $P(S)=0{,}32$ .

Calculer $P_S(A)$ . Interpréter la réponse.
Les événements $A$ et $S$ sont-ils indépendants ?

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Lire les probabilités conditionnelles

Les deux pourcentages conditionnels sont donnés directement dans l’énoncé :

\boxed{P_A(S)=0{,}20} \qquad\text{et}\qquad \boxed{P_{\overline A}(S)=0{,}40}.

2. Compléter l’arbre

On a $P(A)=0{,}4$ , donc $P(\overline A)=1-0{,}4=0{,}6$ . À chaque nœud, la somme des probabilités des deux branches vaut 1 :

P_A(\overline S)=0{,}8 \qquad\text{et}\qquad P_{\overline A}(\overline S)=0{,}6.

L’arbre complété porte ainsi les probabilités $0{,}4$ et $0{,}6$ au premier niveau, puis $0{,}2$ et $0{,}8$ après $A$ , et $0{,}4$ et $0{,}6$ après $\overline A$ .

3. Calculer les probabilités des chemins

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches :

P(A\cap S)=P(A)\times P_A(S)=0{,}4\times0{,}2=\boxed{0{,}08},

P(\overline A\cap S)=P(\overline A)\times P_{\overline A}(S) =0{,}6\times0{,}4=\boxed{0{,}24}.

On retrouve bien $P(S)=0{,}08+0{,}24=0{,}32$ .

4. Inverser le conditionnement

P_S(A)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)} =\frac{0{,}08}{0{,}32} =\boxed{0{,}25}.

Parmi les élèves inscrits à une activité sportive, 25 % sont aussi inscrits à une activité artistique.

5. Tester l’indépendance

Si $A$ et $S$ étaient indépendants, on aurait $P_A(S)=P(S)$ . Or :

P_A(S)=0{,}20\neq0{,}32=P(S).

Les événements $A$ et $S$ ne sont pas indépendants.