SUJET OFFICIEL · 26-MATGEAG1

Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Antilles-Guyane — sans spécialité mathématiques

Le QCM et les trois exercices sont réunis dans l’ordre du sujet original.

Durée officielle: 2 h
Barème: 20 points
Calculatrice: Interdite
Parcours: Sans spécialité maths

L’épreuve comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une deuxième partie sur 14 points. Les corrections proposées ne sont pas des corrigés officiels.

MODE DE TRAVAIL

Vue complète du sujet

Temps restant02:00:00

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions: 8
Temps indicatif: 8 min
Barème: 6 points

Les réponses restent dans votre navigateur et ne sont pas enregistrées.

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Question 1. Calculer $\frac{2}{5}-\frac{3}{10}$ .
1. $-\frac{3}{25}$
2. $-\frac{1}{5}$
3. $\frac{1}{10}$
4. $\frac{1}{5}$
Question 2. Laquelle de ces fonctions est représentée graphiquement par une droite ?
1. $f(x)=\frac{5}{2}x-5$
2. $g(x)=x^3$
3. $h(x)=-\frac{1}{x}+3$
4. $i(x)=2x^2+3x+1$
Question 3. Dans le repère sont tracées quatre droites. La droite ayant pour équation réduite $y=-\frac{1}{2}x+1$ est :
1. $(d_1)$
2. $(d_2)$
3. $(d_3)$
4. $(d_4)$
Question 4. Un automobiliste roule à 60 km/h de moyenne pendant 2 h 30 min. La distance parcourue est :
1. 150 km
2. 140 km
3. 130 km
4. 120 km
Question 5. Un article à 200 € coûtera après une augmentation de 20 % :
1. $200+0{,}2$
2. $200\times\frac{20}{100}$
3. $200\times1{,}2$
4. $100\times0{,}20+\frac{200}{100}$
Question 6. On développe $(2x-5)^2$ . L’expression développée et réduite est :
1. $2x^2-10x+25$
2. $4x^2-20x-25$
3. $4x^2-20x+25$
4. $4x^2-25$
Question 7. La résistance $R$ (en ohms) d’un appareil est donnée par $R=\frac{U^2}{P}$ , où $U$ est la tension (en volts) et $P$ la puissance (en watts). Quelle est la résistance lorsque $U=20$ et $P=80$ ?
1. $\frac{1}{2}$
2. $2$
3. $\frac{1}{5}$
4. $5$
Question 8. On considère les nombres $A=\frac18$ , $B=\frac19$ , $C=\frac1{12}$ et $D=0{,}1$ . Le plus petit de ces nombres est :
1. $A$
2. $B$
3. $C$
4. $D$

Voir les réponses du QCM

Question 1 : $\frac{1}{10}$
Question 2 : $f(x)=\frac{5}{2}x-5$
Question 3 : $(d_4)$
Question 4 : 150 km
Question 5 : $200\times1{,}2$
Question 6 : $4x^2-20x+25$
Question 7 : $5$
Question 8 : $C$

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Activités artistiques et sportives

6 points
40 min conseillées

Énoncé

Dans un lycée, on peut s’inscrire à deux clubs qui proposent des activités artistiques ou sportives.

On constate que :

40 % des élèves inscrits aux clubs ont choisi des activités artistiques ;
parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, 20 % ont aussi choisi des activités sportives ;
parmi les élèves n’ayant pas choisi des activités artistiques, 40 % ont choisi des activités sportives.

Parmi l’ensemble des élèves inscrits à ces clubs, on choisit un élève au hasard.

On note les événements suivants :

$A$ : « l’élève choisi est inscrit à une activité artistique » ;
$S$ : « l’élève choisi est inscrit à une activité sportive ».

Pour un événement quelconque $E$ , on note $\overline E$ l’événement contraire de $E$ , $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l’événement $F$ .

Déterminer $P_A(S)$ et $P_{\overline A}(S)$ .
Recopier et compléter sur votre copie l’arbre de probabilités suivant :

Calculer $P(A\cap S)$ et $P(\overline A\cap S)$ .

On admet que $P(S)=0{,}32$ .

Calculer $P_S(A)$ . Interpréter la réponse.
Les événements $A$ et $S$ sont-ils indépendants ?

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Lire les probabilités conditionnelles

Les deux pourcentages conditionnels sont donnés directement dans l’énoncé :

\boxed{P_A(S)=0{,}20} \qquad\text{et}\qquad \boxed{P_{\overline A}(S)=0{,}40}.

2. Compléter l’arbre

On a $P(A)=0{,}4$ , donc $P(\overline A)=1-0{,}4=0{,}6$ . À chaque nœud, la somme des probabilités des deux branches vaut 1 :

P_A(\overline S)=0{,}8 \qquad\text{et}\qquad P_{\overline A}(\overline S)=0{,}6.

L’arbre complété porte ainsi les probabilités $0{,}4$ et $0{,}6$ au premier niveau, puis $0{,}2$ et $0{,}8$ après $A$ , et $0{,}4$ et $0{,}6$ après $\overline A$ .

3. Calculer les probabilités des chemins

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches :

P(A\cap S)=P(A)\times P_A(S)=0{,}4\times0{,}2=\boxed{0{,}08},

P(\overline A\cap S)=P(\overline A)\times P_{\overline A}(S) =0{,}6\times0{,}4=\boxed{0{,}24}.

On retrouve bien $P(S)=0{,}08+0{,}24=0{,}32$ .

4. Inverser le conditionnement

P_S(A)=\frac{P(A\cap S)}{P(S)} =\frac{0{,}08}{0{,}32} =\boxed{0{,}25}.

Parmi les élèves inscrits à une activité sportive, 25 % sont aussi inscrits à une activité artistique.

5. Tester l’indépendance

Si $A$ et $S$ étaient indépendants, on aurait $P_A(S)=P(S)$ . Or :

P_A(S)=0{,}20\neq0{,}32=P(S).

Les événements $A$ et $S$ ne sont pas indépendants.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Comparer la croissance de deux forêts

8 points
50 min conseillées

Énoncé

On compte le nombre d’arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année.

Partie A — Première forêt

Dans cette forêt, au 1er janvier 2010, on dénombrait 1 200 arbres.

On suppose que le nombre d’arbres augmente de 100 par an.

On modélise cette évolution par la suite $(u_n)$ où $u_n$ représente le nombre d’arbres dans cette forêt le 1er janvier de l’année $2010+n$ pour tout entier naturel $n$ . Ainsi, on a $u_0=1\,200$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ . Interpréter $u_2$ dans le contexte de l’exercice.
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$ . En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison $r$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
D’après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comptera-t-elle plus de 2 950 arbres ?

Partie B — Seconde forêt

Dans cette forêt, au 1er janvier 2010, on dénombrait 1 000 arbres.

On suppose que le nombre d’arbres augmente de 5 % par an.

On modélise cette évolution par la suite $(v_n)$ où $v_n$ représente le nombre d’arbres dans cette forêt le 1er janvier de l’année $2010+n$ pour tout entier naturel $n$ . Ainsi, on a $v_0=1\,000$ .

Calculer le nombre d’arbres au 1er janvier 2011.
Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et préciser sa raison $r$ .
D’après ce modèle, on estime qu’au 1er janvier 2030, il y aura environ 2 653 arbres sur la parcelle. Quel terme de la suite a-t-on calculé ? Quel a été le calcul effectué ?

Partie C — Comparaison des évolutions

Grâce à l’extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d’arbres arrondi à l’unité dans les deux forêts.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\ldots$	$26$	$27$	$28$	$29$
$u_n$	1 200	1 300	1 400	1 500	$\ldots$	3 800	3 900	4 000	4 100
$v_n$	1 000	1 050	1 103	1 158	$\ldots$	3 556	3 733	3 920	4 116

Interpréter dans le contexte de l’exercice les résultats de la dernière colonne.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Une augmentation constante

Chaque année, 100 arbres sont ajoutés :
$u_1=1\,200+100=\boxed{1\,300}, \qquad u_2=1\,300+100=\boxed{1\,400}.$
Le rang 2 correspond à l’année $2010+2=2012$ . Ainsi, $u_2=1\,400$ signifie que la première forêt compte 1 400 arbres au 1er janvier 2012.
Pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=u_n+100.$
La suite $(u_n)$ est donc arithmétique, de premier terme $u_0=1\,200$ et de raison $r=100$ .
Le terme général d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$ . Donc :
$\boxed{u_n=1\,200+100n}.$
On cherche le premier entier $n$ tel que $u_n>2\,950$ :
$1\,200+100n>2\,950 \iff 100n>1\,750 \iff n>17{,}5.$
Le premier entier qui convient est $n=18$ , soit l’année $2010+18=2028$ . La forêt comptera plus de 2 950 arbres à partir du 1er janvier 2028.

Partie B — Une augmentation en pourcentage

Une augmentation de 5 % correspond au coefficient multiplicateur $1{,}05$ :
$v_1=1\,000\times1{,}05=\boxed{1\,050}.$
Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $1{,}05$ . La suite $(v_n)$ est donc géométrique, de premier terme $v_0=1\,000$ et de raison $r=1{,}05$ .
L’année 2030 correspond au rang $2030-2010=20$ . Le terme calculé est donc $v_{20}$ . Pour une suite géométrique :
$v_{20}=v_0\times1{,}05^{20} =1\,000\times1{,}05^{20} \approx\boxed{2\,653}.$

Partie C — Lire la dernière colonne

La dernière colonne correspond à $n=29$ , donc au 1er janvier de l’année $2010+29=2039$ .

À cette date, le premier modèle prévoit 4 100 arbres et le second 4 116 arbres. La seconde forêt compterait donc 16 arbres de plus que la première.

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