Comparer la croissance de deux forêts

Énoncé

On compte le nombre d’arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année.

Partie A — Première forêt

Dans cette forêt, au 1er janvier 2010, on dénombrait 1 200 arbres.

On suppose que le nombre d’arbres augmente de 100 par an.

On modélise cette évolution par la suite $(u_n)$ où $u_n$ représente le nombre d’arbres dans cette forêt le 1er janvier de l’année $2010+n$ pour tout entier naturel $n$ . Ainsi, on a $u_0=1\,200$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ . Interpréter $u_2$ dans le contexte de l’exercice.
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$ . En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison $r$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
D’après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comptera-t-elle plus de 2 950 arbres ?

Partie B — Seconde forêt

Dans cette forêt, au 1er janvier 2010, on dénombrait 1 000 arbres.

On suppose que le nombre d’arbres augmente de 5 % par an.

On modélise cette évolution par la suite $(v_n)$ où $v_n$ représente le nombre d’arbres dans cette forêt le 1er janvier de l’année $2010+n$ pour tout entier naturel $n$ . Ainsi, on a $v_0=1\,000$ .

Calculer le nombre d’arbres au 1er janvier 2011.
Déterminer la nature de la suite $(v_n)$ et préciser sa raison $r$ .
D’après ce modèle, on estime qu’au 1er janvier 2030, il y aura environ 2 653 arbres sur la parcelle. Quel terme de la suite a-t-on calculé ? Quel a été le calcul effectué ?

Partie C — Comparaison des évolutions

Grâce à l’extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d’arbres arrondi à l’unité dans les deux forêts.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\ldots$	$26$	$27$	$28$	$29$
$u_n$	1 200	1 300	1 400	1 500	$\ldots$	3 800	3 900	4 000	4 100
$v_n$	1 000	1 050	1 103	1 158	$\ldots$	3 556	3 733	3 920	4 116

Interpréter dans le contexte de l’exercice les résultats de la dernière colonne.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Une augmentation constante

Chaque année, 100 arbres sont ajoutés :
$u_1=1\,200+100=\boxed{1\,300}, \qquad u_2=1\,300+100=\boxed{1\,400}.$
Le rang 2 correspond à l’année $2010+2=2012$ . Ainsi, $u_2=1\,400$ signifie que la première forêt compte 1 400 arbres au 1er janvier 2012.
Pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=u_n+100.$
La suite $(u_n)$ est donc arithmétique, de premier terme $u_0=1\,200$ et de raison $r=100$ .
Le terme général d’une suite arithmétique est $u_n=u_0+nr$ . Donc :
$\boxed{u_n=1\,200+100n}.$
On cherche le premier entier $n$ tel que $u_n>2\,950$ :
$1\,200+100n>2\,950 \iff 100n>1\,750 \iff n>17{,}5.$
Le premier entier qui convient est $n=18$ , soit l’année $2010+18=2028$ . La forêt comptera plus de 2 950 arbres à partir du 1er janvier 2028.

Partie B — Une augmentation en pourcentage

Une augmentation de 5 % correspond au coefficient multiplicateur $1{,}05$ :
$v_1=1\,000\times1{,}05=\boxed{1\,050}.$
Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $1{,}05$ . La suite $(v_n)$ est donc géométrique, de premier terme $v_0=1\,000$ et de raison $r=1{,}05$ .
L’année 2030 correspond au rang $2030-2010=20$ . Le terme calculé est donc $v_{20}$ . Pour une suite géométrique :
$v_{20}=v_0\times1{,}05^{20} =1\,000\times1{,}05^{20} \approx\boxed{2\,653}.$

Partie C — Lire la dernière colonne

La dernière colonne correspond à $n=29$ , donc au 1er janvier de l’année $2010+29=2039$ .

À cette date, le premier modèle prévoit 4 100 arbres et le second 4 116 arbres. La seconde forêt compterait donc 16 arbres de plus que la première.