Variations et tangente horizontale — Amérique du Nord 2026

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :

f(x)=(4x-4)\mathrm e^{-0{,}5x}+5.

On note $\mathcal C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ :
$f'(x)=(-2x+6)\mathrm e^{-0{,}5x}.$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb R$ , puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb R$ .
La courbe $\mathcal C_f$ admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

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1. Calculer la dérivée

Posons :

u(x)=4x-4 \qquad\text{et}\qquad v(x)=\mathrm e^{-0{,}5x}.

On a $u'(x)=4$ . Pour dériver $v$ , on utilise la formule $(\mathrm e^{ax})'=a\mathrm e^{ax}$ :

v'(x)=-0{,}5\mathrm e^{-0{,}5x}.

La constante $5$ a pour dérivée $0$ . Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

\begin{aligned} f'(x) &=4\mathrm e^{-0{,}5x} +(4x-4)\times(-0{,}5)\mathrm e^{-0{,}5x}\\ &=\left[4-0{,}5(4x-4)\right]\mathrm e^{-0{,}5x}\\ &=(4-2x+2)\mathrm e^{-0{,}5x}\\ &=\boxed{(-2x+6)\mathrm e^{-0{,}5x}}. \end{aligned}

2. Étudier le signe et les variations

Pour tout réel $x$ , $\mathrm e^{-0{,}5x}>0$ . Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $-2x+6$ .

-2x+6=0 \iff x=3.

Comme la fonction affine $x\mapsto-2x+6$ est décroissante :

$f'(x)>0$ lorsque $x<3$ ;
$f'(3)=0$ ;
$f'(x)<0$ lorsque $x>3$ .

La valeur atteinte en $3$ est :

f(3)=(4\times3-4)\mathrm e^{-0{,}5\times3}+5 =8\mathrm e^{-3/2}+5.

$x$	$-\infty$		$3$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		+	$0$	−
Variations de $f$		↗	$5+8\mathrm e^{-3/2}$	↘

La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty;3]$ , puis décroissante sur $[3;+\infty[$ .

3. Chercher une tangente horizontale

Une tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul. Au point d’abscisse $a$ , ce coefficient directeur vaut $f'(a)$ . Il faut donc résoudre :

f'(a)=0.

L’exponentielle n’étant jamais nulle :

(-2a+6)\mathrm e^{-0{,}5a}=0 \iff -2a+6=0 \iff a=3.

La courbe admet donc une seule tangente horizontale. Le point de contact a pour coordonnées exactes :

\boxed{\left(3\,;\,5+8\mathrm e^{-3/2}\right)}.