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SUJET OFFICIEL · 26-MATSPEGEAN1

Épreuve anticipée de mathématiques 2026 — Amérique du Nord — spécialité mathématiques

Le QCM et les trois exercices sont réunis dans l’ordre du sujet original.

Durée officielle
2 h
Barème
20 points
Calculatrice
Interdite
Parcours
Spécialité maths

L’épreuve comporte une première partie d’automatismes sur 6 points et une deuxième partie sur 14 points. Les corrections proposées ne sont pas des corrigés officiels.

MODE DE TRAVAIL

Vue complète du sujet

Temps restant

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 9 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions
9
Temps indicatif
9 min
Barème
6 points

Les réponses restent dans votre navigateur et ne sont pas enregistrées.

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  1. Question 1. Calculer 12+32×4\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\times4.

    1. 88
    2. 132\frac{13}{2}
    3. 44
    4. 168\frac{16}{8}

  2. Question 2. Le volume de la partie visible d’un iceberg est d’environ 10 % de son volume total. Si cette partie visible mesure 150 km3150\,\text{km}^3, le volume total est :

    1. 1 350 km31\,350\,\text{km}^3
    2. 1 500 km31\,500\,\text{km}^3
    3. 15 km315\,\text{km}^3
    4. 135 km3135\,\text{km}^3

  3. Question 3. Le prix d’un article est multiplié par 0,8450{,}845. Cela signifie qu’il a :

    1. Augmenté de 84,5 %
    2. Baissé de 1,55 %
    3. Augmenté de 15,5 %
    4. Baissé de 15,5 %

  4. Question 4. On considère A(x)=(x+5)(x+8)A(x)=(x+5)(x+8). Le tableau de signes de A(x)A(x) sur R\mathbb{R} est :

    Quatre tableaux de signes proposésAxsigne de f(x)−∞+∞−80−50−+−Bxsigne de f(x)−∞+∞−50−+Cxsigne de f(x)−∞+∞−80−50+−+Dxsigne de f(x)−∞+∞5080+−+
    1. Zéros en −8-8 et −5-5 ; signe −,+,−-,+,-
    2. Zéro en −5-5 ; signe −,+-,+
    3. Zéros en −8-8 et −5-5 ; signe +,−,++,-,+
    4. Zéros en 5 et 8 ; signe +,−,++,-,+

  5. Question 5. Une lettre est choisie au hasard dans l’alphabet de 26 lettres, dont les voyelles sont A, E, I, O, U et Y. Sachant que la lettre choisie appartient au mot SINGE, quelle est la probabilité que ce soit une voyelle ?

    1. 626\frac{6}{26}
    2. 25\frac{2}{5}
    3. 26\frac{2}{6}
    4. 56\frac{5}{6}

  6. Question 6. Soit ff une fonction affine représentée dans le repère ci-dessous. Une expression algébrique de ff est :

    Représentation graphique de l’énoncé-11234-1010203040
    1. f(x)=−x+30f(x)=-x+30
    2. f(x)=30x+3f(x)=30x+3
    3. f(x)=−10x+30f(x)=-10x+30
    4. f(x)=−110x+30f(x)=-\frac1{10}x+30

  7. Question 7. La forme développée et réduite de (x+2)2−(1−x)2(x+2)^2-(1-x)^2 est :

    1. 2x2+32x^2+3
    2. 6x+36x+3
    3. 2x+52x+5
    4. 2x2+2x+32x^2+2x+3

  8. Question 8. L’équation 2(x−4)−(2x+1)=02(x-4)-(2x+1)=0 admet :

    1. Deux solutions : 4 et 12\frac12
    2. Deux solutions : 4 et −12-\frac12
    3. Aucune solution
    4. Une infinité de solutions

  9. Question 9. On considère E=2×3227×23E=\frac{2\times3^2}{27\times2^3}. On peut affirmer que EE est égal à :

    1. 19\frac{1}{9}
    2. 112\frac{1}{12}
    3. 1212
    4. 16\frac{1}{6}
Voir les réponses du QCM
  1. Question 1 : 132\frac{13}{2}
  2. Question 2 : 1 500 km31\,500\,\text{km}^3
  3. Question 3 : Baissé de 15,5 %
  4. Question 4 : Zéros en −8-8 et −5-5 ; signe +,−,++,-,+
  5. Question 5 : 25\frac{2}{5}
  6. Question 6 : f(x)=−10x+30f(x)=-10x+30
  7. Question 7 : 6x+36x+3
  8. Question 8 : Aucune solution
  9. Question 9 : 112\frac{1}{12}

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Jeu de boules à la fête foraine

6 points
40 min conseillées

Énoncé

Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.

Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer, le joueur doit d’abord payer 1 euro.

Ensuite :

  • le joueur tire une première boule qu’il donne au forain ; celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l’urne ;
  • le joueur tire une deuxième boule ; le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l’urne.

Voici les récompenses qu’il obtient :

  • si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit 3 euros ;
  • si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit 1 euro ;
  • sinon il ne reçoit pas d’argent.

Partie A

Dans cette partie, on considère que cette urne contient 1 boule rouge et 9 boules vertes.

On note :

  • R1R_1 l’événement : « la première boule tirée est rouge » ;
  • R2R_2 l’événement : « la deuxième boule tirée est rouge ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.
Arbre pondéré à compléterL’arbre décrit deux tirages avec remise. Les premières branches indiquent la couleur de la première boule et les suivantes celle de la deuxième boule. Les six probabilités sont à compléter.………………R₂R₂R₂R₂R₁R₁

  1. On note XX la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de 1 euro.

    a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire XX.

    b. Montrer que P(X=−1)=18100P(X=-1)=\dfrac{18}{100}.

    c. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de XX.

kk
P(X=k)P(X=k)

d. Calculer l’espérance de XX. Interpréter le résultat.

Partie B

Dans cette partie, on considère que cette urne contient maintenant nn boules rouges et 10−n10-n boules vertes, où nn est un nombre entier naturel avec 0⩽n⩽100\leqslant n\leqslant10.

On note YY la variable aléatoire donnant le gain algébrique après les deux tirages.

  1. Démontrer que :

    E(Y)=4n2−20n100.E(Y)=\frac{4n^2-20n}{100}.

    On expliquera la démarche mise en œuvre. Toute démarche, même incomplète, sera prise en compte dans la notation.

  2. Pour combien de boules rouges dans l’urne le jeu est-il équitable entre le joueur et le forain ?

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Étudier le jeu avec une boule rouge

1. Compléter l’arbre

L’urne contient une boule rouge sur dix, donc :

P(R1)=110etP(R1‾)=910.P(R_1)=\frac1{10} \qquad\text{et}\qquad P(\overline{R_1})=\frac9{10}.

La première boule est remise dans l’urne. Sa composition ne change donc pas avant le second tirage. Sur chacune des branches du premier niveau :

P(R2)=110etP(R2‾)=910.P(R_2)=\frac1{10} \qquad\text{et}\qquad P(\overline{R_2})=\frac9{10}.

2. Déterminer la loi de XX

a. Il faut retirer le prix d’entrée de 1 euro à chaque récompense :

  • deux boules rouges donnent un gain de 3−1=23-1=2 euros ;
  • deux boules vertes donnent un gain de 1−1=01-1=0 euro ;
  • deux boules de couleurs différentes donnent un gain de 0−1=−10-1=-1 euro.

Ainsi, XX prend les valeurs −1-1, 00 et 22.

b. Le gain vaut −1-1 lorsque les deux boules sont de couleurs différentes. Deux chemins de l’arbre conviennent :

P(X=−1)=P(R1∩R2‾)+P(R1‾∩R2)=110×910+910×110=18100.\begin{aligned} P(X=-1) &=P(R_1\cap\overline{R_2}) +P(\overline{R_1}\cap R_2)\\ &=\frac1{10}\times\frac9{10} +\frac9{10}\times\frac1{10}\\ &=\boxed{\frac{18}{100}}. \end{aligned}

c. Pour les deux autres gains :

P(X=0)=910×910=81100P(X=0)=\frac9{10}\times\frac9{10}=\frac{81}{100}

et

P(X=2)=110×110=1100.P(X=2)=\frac1{10}\times\frac1{10}=\frac1{100}.

La loi de probabilité de XX est donc :

kk−1-10022
P(X=k)P(X=k)18100\dfrac{18}{100}81100\dfrac{81}{100}1100\dfrac{1}{100}

d. L’espérance de XX vaut :

E(X)=(−1)×18100+0×81100+2×1100=−16100=−0,16.\begin{aligned} E(X) &=(-1)\times\frac{18}{100} +0\times\frac{81}{100} +2\times\frac1{100}\\ &=-\frac{16}{100}\\ &=\boxed{-0{,}16}. \end{aligned}

Sur un grand nombre de parties, un joueur perd en moyenne 0,16 euro par partie. Le jeu est donc avantageux pour le forain.

Partie B — Faire varier la composition de l’urne

  1. La probabilité de tirer une boule rouge est n10\dfrac n{10} et celle de tirer une boule verte est 10−n10\dfrac{10-n}{10}.

    Le gain YY vaut 22 si les deux boules sont rouges, 00 si elles sont toutes les deux vertes et −1-1 si elles sont de couleurs différentes. Ainsi :

    P(Y=2)=n2100P(Y=2)=\frac{n^2}{100}

    et

    P(Y=−1)=2×n10×10−n10=2n(10−n)100.P(Y=-1) =2\times\frac n{10}\times\frac{10-n}{10} =\frac{2n(10-n)}{100}.

    On en déduit :

    E(Y)=2×n2100+0×P(Y=0)−2n(10−n)100=2n2−20n+2n2100=4n2−20n100.\begin{aligned} E(Y) &=2\times\frac{n^2}{100} +0\times P(Y=0) -\frac{2n(10-n)}{100}\\ &=\frac{2n^2-20n+2n^2}{100}\\ &=\boxed{\frac{4n^2-20n}{100}}. \end{aligned}

  2. Le jeu est équitable lorsque le gain moyen du joueur est nul. On résout donc E(Y)=0E(Y)=0 :

    4n2−20n100=0  ⟺  4n(n−5)=0  ⟺  n=0oun=5.\frac{4n^2-20n}{100}=0 \iff 4n(n-5)=0 \iff n=0\quad\text{ou}\quad n=5.

    Ces deux valeurs appartiennent bien à l’ensemble des entiers compris entre 00 et 1010. Le jeu est équitable lorsque l’urne contient 0 ou 5 boules rouges.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Production de panneaux solaires

4 points
30 min conseillées

Énoncé

Pour réduire sa facture d’électricité, Camille a décidé de faire poser des panneaux solaires sur le toit de sa maison.

Elle souhaite analyser sa production et estimer le temps nécessaire pour rentabiliser cet investissement.

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A

Lors d’une belle journée ensoleillée, la puissance électrique en kilowatt (kW) des panneaux solaires de Camille peut être modélisée en fonction de l’heure par une fonction ff. On admet que ff est définie sur [0;24][0;24] et on donne sa courbe représentative Cf\mathcal C_f ci-dessous.

Avec la précision permise par le graphique :

Puissance produite par les panneaux solaires selon l’heureLa puissance est presque nulle pendant la nuit, augmente rapidement dans la matinée, atteint environ 8 kilowatts vers 13 heures, puis diminue jusqu’au soir.

  1. Donner la puissance électrique des panneaux solaires à 11 h 00.

  2. Résoudre graphiquement l’inéquation f(x)⩾5f(x)\geqslant5 et interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

Partie B

Le coût pour 1 kilowattheure (kWh) consommé au tarif réglementé était de 0,15 euro en 2020. On admet que ce tarif réglementé augmente de 6 % chaque année.

On note cnc_n le coût en euros pour 1 kWh consommé durant l’année 2020+n2020+n, avec nn un entier naturel. On a alors c0=0,15c_0=0{,}15.

  1. Déterminer la nature de la suite (cn)(c_n). On précisera sa raison.

  2. Pour tout entier naturel nn, exprimer cnc_n en fonction de nn.

  3. Donner le calcul permettant d’obtenir le coût pour 1 kWh consommé en 2030. Il n’est pas demandé d’effectuer ce calcul.

  4. On admet que, chaque année depuis 2020, l’utilisation des panneaux solaires de Camille lui a permis d’éviter l’achat de 2 000 kWh par an.

    L’installation des panneaux solaires en janvier 2020 a coûté à Camille 7 000 euros.

    On considère le programme Python ci-dessous.

n = 0
c = 0.15
S = 0
while S < 7000:
    S = S + c*2000
    n = n+1
    c = 1.06*c
print(n)

a. Dans le contexte de l’énoncé, que représentent les variables c et S du programme ?

b. On exécute ce programme. Il affiche 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Lire la production sur le graphique

  1. On se place à l’abscisse 1111 et on lit l’ordonnée du point de la courbe. La puissance électrique produite à 11 h 00 est d’environ :

    6 kW.\boxed{6\text{ kW}}.

  2. On repère les points de la courbe situés sur ou au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée 55. Les abscisses correspondantes sont approximativement comprises entre 10,510{,}5 et 15,515{,}5 :

    x∈[10,5;15,5].\boxed{x\in[10{,}5;15{,}5]}.

    Durant cette journée, les panneaux produisent donc une puissance d’au moins 5 kW environ entre 10 h 30 et 15 h 30.

Partie B — Estimer la rentabilisation

  1. Une hausse annuelle de 6 % correspond au coefficient multiplicateur :

    1+6100=1,06.1+\frac6{100}=1{,}06.

    On a donc, pour tout entier naturel nn :

    cn+1=1,06cn.c_{n+1}=1{,}06c_n.

    La suite (cn)(c_n) est géométrique, de premier terme c0=0,15c_0=0{,}15 et de raison 1,061{,}06.

  2. Le terme général d’une suite géométrique est cn=c0qnc_n=c_0q^n. Ici :

    cn=0,15×1,06n.\boxed{c_n=0{,}15\times1{,}06^n}.

  3. L’année 2030 correspond au rang n=10n=10. Le coût d’un kilowattheure en 2030 s’obtient donc par le calcul :

    c10=0,15×1,0610.\boxed{c_{10}=0{,}15\times1{,}06^{10}}.

  4. a. Au début du programme, c vaut 0,150{,}15, le tarif d’un kilowattheure en 2020. À chaque passage dans la boucle, cette variable est multipliée par 1,061{,}06 : elle représente donc le tarif d’un kilowattheure pour l’année considérée.

    La quantité c*2000 est la dépense évitée pendant cette année. La variable S additionne ces montants : elle représente le total des économies réalisées depuis l’installation des panneaux.

    b. La boucle s’arrête dès que S atteint ou dépasse 7 000 euros. La valeur affichée indique donc qu’il faut 16 années d’économies pour compenser le coût de l’installation. Les panneaux sont rentabilisés à l’issue de cette période.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 3

Variations et tangente horizontale

4 points
25 min conseillées

Énoncé

On considère la fonction ff définie sur R\mathbb R par :

f(x)=(4x−4)e−0,5x+5.f(x)=(4x-4)\mathrm e^{-0{,}5x}+5.

On note Cf\mathcal C_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On admet que ff est dérivable sur R\mathbb R et on note f′f' sa fonction dérivée.

  1. Montrer que, pour tout x∈Rx\in\mathbb R :

    f′(x)=(−2x+6)e−0,5x.f'(x)=(-2x+6)\mathrm e^{-0{,}5x}.

  2. Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur R\mathbb R, puis en déduire les variations de la fonction ff sur R\mathbb R.

  3. La courbe Cf\mathcal C_f admet-elle des points pour lesquels la tangente est horizontale ? Si oui, on précisera les coordonnées exactes de ces éventuels points.

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Calculer la dérivée

Posons :

u(x)=4x−4etv(x)=e−0,5x.u(x)=4x-4 \qquad\text{et}\qquad v(x)=\mathrm e^{-0{,}5x}.

On a u′(x)=4u'(x)=4. Pour dériver vv, on utilise la formule (eax)′=aeax(\mathrm e^{ax})'=a\mathrm e^{ax} :

v′(x)=−0,5e−0,5x.v'(x)=-0{,}5\mathrm e^{-0{,}5x}.

La constante 55 a pour dérivée 00. Avec la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' :

f′(x)=4e−0,5x+(4x−4)×(−0,5)e−0,5x=[4−0,5(4x−4)]e−0,5x=(4−2x+2)e−0,5x=(−2x+6)e−0,5x.\begin{aligned} f'(x) &=4\mathrm e^{-0{,}5x} +(4x-4)\times(-0{,}5)\mathrm e^{-0{,}5x}\\ &=\left[4-0{,}5(4x-4)\right]\mathrm e^{-0{,}5x}\\ &=(4-2x+2)\mathrm e^{-0{,}5x}\\ &=\boxed{(-2x+6)\mathrm e^{-0{,}5x}}. \end{aligned}

2. Étudier le signe et les variations

Pour tout réel xx, e−0,5x>0\mathrm e^{-0{,}5x}>0. Le signe de f′(x)f'(x) est donc celui de −2x+6-2x+6.

−2x+6=0  ⟺  x=3.-2x+6=0 \iff x=3.

Comme la fonction affine x↦−2x+6x\mapsto-2x+6 est décroissante :

  • f′(x)>0f'(x)>0 lorsque x<3x<3 ;
  • f′(3)=0f'(3)=0 ;
  • f′(x)<0f'(x)<0 lorsque x>3x>3.

La valeur atteinte en 33 est :

f(3)=(4×3−4)e−0,5×3+5=8e−3/2+5.f(3)=(4\times3-4)\mathrm e^{-0{,}5\times3}+5 =8\mathrm e^{-3/2}+5.
xx−∞-\infty33+∞+\infty
Signe de f′(x)f'(x)+00−
Variations de ff↗5+8e−3/25+8\mathrm e^{-3/2}↘

La fonction ff est donc croissante sur ]−∞;3]]-\infty;3], puis décroissante sur [3;+∞[[3;+\infty[.

3. Chercher une tangente horizontale

Une tangente est horizontale lorsque son coefficient directeur est nul. Au point d’abscisse aa, ce coefficient directeur vaut f′(a)f'(a). Il faut donc résoudre :

f′(a)=0.f'(a)=0.

L’exponentielle n’étant jamais nulle :

(−2a+6)e−0,5a=0  ⟺  −2a+6=0  ⟺  a=3.(-2a+6)\mathrm e^{-0{,}5a}=0 \iff -2a+6=0 \iff a=3.

La courbe admet donc une seule tangente horizontale. Le point de contact a pour coordonnées exactes :

(3 ; 5+8e−3/2).\boxed{\left(3\,;\,5+8\mathrm e^{-3/2}\right)}.

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