Cercle, hyperbole et angle droit

Énoncé

On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ pour l’ensemble de l’exercice.

Partie A — Étude d’un cercle

Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.

On considère le cercle $\mathcal C$ de centre $A(3;1)$ et de rayon $r=\dfrac{\sqrt{37}}2$ .

Justifier que le cercle $\mathcal C$ admet pour équation :
$(x-3)^2+(y-1)^2=\frac{37}{4}.$
Démontrer que le point $B(6;0{,}5)$ appartient au cercle $\mathcal C$ .

Aide aux calculs :

9{,}25=\frac{37}{4}, \qquad 8{,}75=\frac{35}{4}, \qquad 0{,}5^2=0{,}25.

Pour la suite de l’exercice, on considère la figure ci-dessous et les données suivantes.

l’équation de la courbe $\mathcal H$ est $y=\dfrac3x$ pour $x$ strictement positif ;
les coordonnées des points sont $A(3;1)$ , $B(6;0{,}5)$ et $D(4;2)$ .

On considère un point $M$ mobile sur la courbe $\mathcal H$ , d’abscisse $x>0$ . L’objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu’il n’existe qu’un seul point $M$ tel que l’angle $\widehat{DAM}$ soit droit.

Partie B — Étude d’un cas particulier

Justifier que le point $B$ appartient à la courbe $\mathcal H$ .
a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}$ .

b. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}$ .

c. L’angle $\widehat{DAB}$ est-il droit ? Justifier.

Partie C — Étude du cas général

Résoudre dans $\mathbb R$ l’équation $x^2-4x+3=0$ .
On rappelle que $M$ est un point sur la courbe $\mathcal H$ d’abscisse $x>0$ . Démontrer qu’il n’existe qu’un seul point $M$ tel que l’angle $\widehat{DAM}$ soit droit.

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Partie A — Étudier le cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $A(x_A;y_A)$ et de rayon $r$ a pour équation :

(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2.

Ici, $A(3;1)$ et $r=\dfrac{\sqrt{37}}2$ , donc :

(x-3)^2+(y-1)^2 =\left(\frac{\sqrt{37}}2\right)^2 =\boxed{\frac{37}{4}}.

Pour $B(6;0{,}5)$ , le membre de gauche vaut :

\begin{aligned} (6-3)^2+(0{,}5-1)^2 &=3^2+(-0{,}5)^2\\ &=9+0{,}25\\ &=9{,}25 =\frac{37}{4}. \end{aligned}

Les coordonnées de $B$ vérifient l’équation du cercle : $\boxed{B\in\mathcal C}$ .

Partie B — Étudier le point $B$

Pour $x=6$ , l’équation de $\mathcal H$ donne :

y=\frac36=\frac12=0{,}5.

On retrouve l’ordonnée de $B(6;0{,}5)$ , donc $\boxed{B\in\mathcal H}$ .

a. On soustrait les coordonnées de $A$ à celles des extrémités :
$\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}4-3\\2-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}6-3\\0{,}5-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\-0{,}5\end{pmatrix}.$
b. Leur produit scalaire vaut :
$\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB} =1\times3+1\times(-0{,}5) =\boxed{2{,}5}.$
c. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Ici, $2{,}5\neq0$ : l’angle $\widehat{DAB}$ n’est pas droit.

Partie C — Traiter le cas général

On factorise :

x^2-4x+3=(x-1)(x-3).

Ainsi :

(x-1)(x-3)=0 \iff x=1\text{ ou }x=3.

Puisque $M$ appartient à $\mathcal H$ et a pour abscisse $x>0$ , ses coordonnées sont :

M\left(x;\frac3x\right).

On a donc :

\overrightarrow{AM} =\begin{pmatrix}x-3\\\frac3x-1\end{pmatrix}.

L’angle $\widehat{DAM}$ est droit lorsque $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM}=0$ . Or :

\begin{aligned} \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AM} &=1(x-3)+1\left(\frac3x-1\right)\\ &=x+\frac3x-4\\ &=\frac{x^2-4x+3}{x}. \end{aligned}

Comme $x>0$ , le dénominateur n’est pas nul. D’après la question précédente, le produit scalaire s’annule pour $x=1$ ou $x=3$ .

si $x=1$ , alors $M(1;3)$ et l’angle $\widehat{DAM}$ est bien défini et droit ;
si $x=3$ , alors $M(3;1)=A$ . Dans ce cas, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ est nul et l’angle $\widehat{DAM}$ n’est pas défini.

Il existe donc un seul point convenable :

\boxed{M(1;3)}.