Croissance d’un mûrier platane — Centres étrangers, groupe 1 2026

Énoncé

Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d’ombrage et de résistance à la sécheresse.

Partie A

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre. On suppose que, chaque année, la hauteur de l’arbre augmente de 40 cm.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la hauteur de l’arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi, $u_0=1$ .

a. Calculer $u_1$ .

b. Quelle sera la hauteur de l’arbre deux années après sa plantation ?
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier.
Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Au bout de combien d’années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?

Partie B

Au moment de la plantation, l’arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double comme représenté sur le schéma ci-dessous.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l’arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_0=2$ .

Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Justifier.
a. Un an après la plantation, l’arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6. Montrer que, trois ans après sa plantation, l’arbre possède un nombre total de branches égal à 30.

b. On donne le programme ci-dessous écrit en langage Python :

v = 2
total = 2
for i in range(10):
    v = 2 * v
    total = total + v
print(total)

for i in range(n) permet de répéter $n$ fois un ensemble d’instructions. La valeur affichée par ce programme est 4 094. Dans le contexte de l’exercice, que représente cette valeur ?

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Modéliser la hauteur

Comme 40 cm correspondent à $0{,}4$ m :
$u_1=1+0{,}4=1{,}4.$
Deux années après la plantation :
$u_2=1+2\times0{,}4=1{,}8.$
L’arbre mesure donc 1,8 mètre.
D’une année à la suivante, on ajoute toujours $0{,}4$ :
$u_{n+1}=u_n+0{,}4.$
La suite $(u_n)$ est donc arithmétique, de premier terme $u_0=1$ et de raison $0{,}4$ .
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ , $u_n=u_0+nr$ . Ici :
$\boxed{u_n=1+0{,}4n}.$
On cherche le premier entier $n$ pour lequel $u_n=9$ :
$1+0{,}4n=9 \iff 0{,}4n=8 \iff n=20.$
Le mûrier atteindra 9 mètres au bout de 20 ans.

Partie B — Modéliser les branches

Le nombre de nouvelles branches est multiplié par 2 chaque année :
$v_{n+1}=2v_n.$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique, de premier terme $v_0=2$ et de raison $2$ . On a en particulier $v_n=2\times2^n=2^{n+1}$ .
a. Trois ans après la plantation, le nombre total de branches est la somme des branches présentes à la plantation et des nouvelles branches des années 1, 2 et 3 :
$v_0+v_1+v_2+v_3=2+4+8+16=30.$
L’arbre possède donc bien 30 branches au total.

b. La boucle est répétée 10 fois. À chaque passage, v devient le nombre de nouvelles branches de l’année suivante, puis ce nombre est ajouté à total.

La valeur 4 094 représente donc le nombre total de branches possédées par l’arbre dix ans après sa plantation :
$2+4+8+\cdots+2^{11}=4\,094.$