Sujet bac maths première 2026 — Centres étrangers, groupe 1

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions: 8
Temps indicatif: 8 min
Barème: 6 points

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Question 1. Soient $A$ et $B$ deux événements. À partir de l’arbre pondéré ci-dessous, $P(\bar A\cap B)$ est égale à :
1. $1{,}3$
2. $0{,}42$
3. $0{,}7$
4. $0{,}18$
Question 2. Dans un lycée, 150 élèves de première générale suivent la spécialité mathématiques, ce qui représente $\frac35$ de l’ensemble des élèves de première générale. Le nombre d’élèves de première générale dans ce lycée est :
1. 90
2. 200
3. 250
4. 300
Question 3. On considère $A=\frac{1}{3}$ et $B=\frac{5}{6}$ . Le nombre $\frac{A}{B}+1$ est égal à :
1. $\frac{7}{5}$
2. $\frac{3}{5}$
3. $\frac{23}{18}$
4. $\frac{7}{3}$
Question 4. Dans un repère orthonormé, quelle représentation correspond à la droite $y=\frac{1}{3}x+1$ ?
1. Droite A
2. Droite B
3. Droite C
4. Droite D
Question 5. La forme développée de $(x^3-1)^2$ est :
1. $x^6-1$
2. $x^6-2x^3+1$
3. $x^5-2x^3+1$
4. $x^6+2x^3-1$
Question 6. L’évolution globale correspondant à une hausse de 20 % puis une baisse de 50 %, est une baisse de :
1. 10 %
2. 30 %
3. 40 %
4. 60 %
Question 7. Une classe compte 25 élèves. Parmi les élèves de 16 ans ou moins, 8 suivent la spécialité mathématiques et 7 ne la suivent pas. Parmi les plus de 16 ans, 4 ne la suivent pas. Quelle est la probabilité qu’un élève suive la spécialité sachant qu’il a plus de 16 ans ?
1. $\frac{3}{7}$
2. $\frac{6}{25}$
3. $6$
4. $\frac{3}{5}$
Question 8. Soient $x$ et $y$ deux réels strictement positifs tels que $x=\frac5{2+y}$ . On peut affirmer que :
1. $y=\frac{10}{2x-5}$
2. $y=\frac5{2+x}$
3. $y=5-2x$
4. $y=\frac5x-2$

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Question 1 : $0{,}42$
Question 2 : 250
Question 3 : $\frac{7}{5}$
Question 4 : Droite C
Question 5 : $x^6-2x^3+1$
Question 6 : 40 %
Question 7 : $\frac{3}{5}$
Question 8 : $y=\frac5x-2$

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Croissance d’un mûrier platane

5 points
30 min conseillées

Énoncé

Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs. Ces arbres sont réputés pour leurs qualités d’ombrage et de résistance à la sécheresse.

Partie A

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre. On suppose que, chaque année, la hauteur de l’arbre augmente de 40 cm.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$ la hauteur de l’arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi, $u_0=1$ .

a. Calculer $u_1$ .

b. Quelle sera la hauteur de l’arbre deux années après sa plantation ?
Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Justifier.
Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Au bout de combien d’années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?

Partie B

Au moment de la plantation, l’arbre possède un tronc et deux branches. Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches. Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches. Chaque année, le nombre de nouvelles branches double comme représenté sur le schéma ci-dessous.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l’arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_0=2$ .

Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Justifier.
a. Un an après la plantation, l’arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6. Montrer que, trois ans après sa plantation, l’arbre possède un nombre total de branches égal à 30.

b. On donne le programme ci-dessous écrit en langage Python :

v = 2
total = 2
for i in range(10):
    v = 2 * v
    total = total + v
print(total)

for i in range(n) permet de répéter $n$ fois un ensemble d’instructions. La valeur affichée par ce programme est 4 094. Dans le contexte de l’exercice, que représente cette valeur ?

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Modéliser la hauteur

Comme 40 cm correspondent à $0{,}4$ m :
$u_1=1+0{,}4=1{,}4.$
Deux années après la plantation :
$u_2=1+2\times0{,}4=1{,}8.$
L’arbre mesure donc 1,8 mètre.
D’une année à la suivante, on ajoute toujours $0{,}4$ :
$u_{n+1}=u_n+0{,}4.$
La suite $(u_n)$ est donc arithmétique, de premier terme $u_0=1$ et de raison $0{,}4$ .
Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ , $u_n=u_0+nr$ . Ici :
$\boxed{u_n=1+0{,}4n}.$
On cherche le premier entier $n$ pour lequel $u_n=9$ :
$1+0{,}4n=9 \iff 0{,}4n=8 \iff n=20.$
Le mûrier atteindra 9 mètres au bout de 20 ans.

Partie B — Modéliser les branches

Le nombre de nouvelles branches est multiplié par 2 chaque année :
$v_{n+1}=2v_n.$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique, de premier terme $v_0=2$ et de raison $2$ . On a en particulier $v_n=2\times2^n=2^{n+1}$ .
a. Trois ans après la plantation, le nombre total de branches est la somme des branches présentes à la plantation et des nouvelles branches des années 1, 2 et 3 :
$v_0+v_1+v_2+v_3=2+4+8+16=30.$
L’arbre possède donc bien 30 branches au total.

b. La boucle est répétée 10 fois. À chaque passage, v devient le nombre de nouvelles branches de l’année suivante, puis ce nombre est ajouté à total.

La valeur 4 094 représente donc le nombre total de branches possédées par l’arbre dix ans après sa plantation :
$2+4+8+\cdots+2^{11}=4\,094.$

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Calculer un angle dans un repère

3 points
20 min conseillées

Énoncé

On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé. On considère les points $A(-1;5)$ , $B(3;5)$ et $C(4;0)$ .

a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

b. En déduire la valeur du produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ .
a. Montrer que $AC=5\sqrt2$ . On admet que $AB=4$ .

b. Écrire l’expression permettant de calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ en fonction de l’angle $\widehat{BAC}$ .

c. En déduire une mesure, en radian, de l’angle $\widehat{BAC}$ .

Aide aux calculs :

\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \qquad\text{et}\qquad \frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt2}{2}.

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Coordonnées et produit scalaire

a. On soustrait les coordonnées du point de départ à celles du point d’arrivée :

\overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3-(-1)\\5-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix},

et

\overrightarrow{AC} =\begin{pmatrix}4-(-1)\\0-5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}.

b. Avec les coordonnées obtenues :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =4\times5+0\times(-5) =20.

2. Longueur et angle

a. Dans un repère orthonormé :

AC=\sqrt{(4-(-1))^2+(0-5)^2} =\sqrt{5^2+(-5)^2} =\sqrt{50} =5\sqrt2.

b. L’expression géométrique du produit scalaire est :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =AB\times AC\times\cos\left(\widehat{BAC}\right).

Dans cette situation :

20=4\times5\sqrt2\times\cos\left(\widehat{BAC}\right).

c. On isole le cosinus :

\cos\left(\widehat{BAC}\right) =\frac{20}{20\sqrt2} =\frac1{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}.

L’angle est compris entre $0$ et $\pi$ . Or $\cos\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ . Ainsi :

\boxed{\widehat{BAC}=\frac\pi4}.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 3

Étudier une fonction rationnelle

6 points
35 min conseillées

Énoncé

Soit $f$ une fonction définie sur $]0; +\infty[$ . On a tracé dans le repère ci-dessous la courbe $\mathcal C_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite $T_A$ tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point $A$ de coordonnées $(1;20)$ . La droite $T_A$ passe par le point $B$ de coordonnées $(3;10)$ .

a. Donner $f(1)$ .

b. Déterminer la valeur de $f'(1)$ .

c. Justifier que l’équation réduite de la tangente $T_A$ à $\mathcal C_f$ au point $A$ est $y=-5x+25$ .

Pour la suite de l’exercice, la fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par

f(x)=\frac{4x^2+7x+9}{x}.

On admet que $f$ est dérivable sur cet intervalle.

a. Démontrer que, pour tout $x\in]0;+\infty[$ ,
$f'(x)=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}.$
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0;+\infty[$ .

c. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ .
Existe-t-il une tangente à $\mathcal C_f$ parallèle à la droite d’équation $y=3x+5$ ? Justifier votre réponse.

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1. Exploiter le graphique

a. Le point $A(1;20)$ appartient à $\mathcal C_f$ . Son ordonnée est donc l’image de $1$ :

f(1)=20.

b. Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ . Puisque cette droite passe par $A$ et $B$ :

f'(1)=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} =\frac{10-20}{3-1} =-5.

c. Une droite de coefficient directeur $-5$ passant par $A(1;20)$ vérifie :

y-20=-5(x-1).

En développant, on obtient bien $\boxed{y=-5x+25}$ .

2. Étudier les variations

a. Posons $u(x)=4x^2+7x+9$ et $v(x)=x$ . Alors $u'(x)=8x+7$ et $v'(x)=1$ . La formule de dérivation d’un quotient donne :

\begin{aligned} f'(x) &=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}\\ &=\frac{(8x+7)x-(4x^2+7x+9)}{x^2}\\ &=\frac{4x^2-9}{x^2}\\ &=\frac{(2x-3)(2x+3)}{x^2}. \end{aligned}

b. Sur $]0;+\infty[$ , les facteurs $x^2$ et $2x+3$ sont strictement positifs. Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2x-3$ :

$f'(x)<0$ lorsque $0<x<\dfrac32$ ;
$f'\left(\dfrac32\right)=0$ ;
$f'(x)>0$ lorsque $x>\dfrac32$ .

c. La fonction est décroissante sur $]0;\dfrac32]$ , puis croissante sur $[\dfrac32;+\infty[$ . Sa valeur minimale est :

f\left(\frac32\right) =\frac{4\times\left(\frac32\right)^2+7\times\frac32+9}{\frac32} =19.

$x$	$0$		$\frac32$		$+\infty$
Signe de $f'(x)$		−	0	+
Variations de $f$		↘	$19$	↗

3. Chercher une tangente parallèle

La droite $y=3x+5$ a pour coefficient directeur $3$ . Une tangente à $\mathcal C_f$ lui est parallèle si son coefficient directeur vaut aussi $3$ . Il faut résoudre $f'(x)=3$ :

\frac{4x^2-9}{x^2}=3 \iff 4x^2-9=3x^2 \iff x^2=9.

Les solutions de $x^2=9$ sont $-3$ et $3$ , mais le domaine étudié est $]0;+\infty[$ . Seule $x=3$ convient. Il existe donc une tangente parallèle à la droite donnée au point d’abscisse $3$ . Comme $f(3)=22$ , ce point est $(3;22)$ .

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