Trois affirmations à justifier — Métropole, La Réunion et Mayotte 2026

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Les trois questions sont indépendantes.

On considère un réel $u$ . On considère sur $\mathbb R$ l’équation :
$(E)\quad x^2+x-u^2=0.$
Affirmation : quelle que soit la valeur du réel $u$ , l’équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2^{-n}$ .

Affirmation : la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ .
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\mathrm e^x-1$ .

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ . On note $A$ le point de coordonnées $(3;3)$ .

Affirmation : le point $A$ appartient à la tangente $T$ .

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Une équation du second degré

Le discriminant de l’équation $x^2+x-u^2=0$ est :

\Delta=1^2-4\times1\times(-u^2)=1+4u^2.

Pour tout réel $u$ , on a $u^2\geqslant0$ . Par conséquent :

\Delta=1+4u^2\geqslant1>0.

L’équation possède donc toujours deux solutions réelles distinctes. L’affirmation est vraie.

2. Une suite géométrique

Pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1}=2^{-(n+1)} =2^{-n}\times2^{-1} =\frac12u_n.

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $\dfrac12$ . La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ . L’affirmation est vraie.

3. Une tangente

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et :

f'(x)=\mathrm e^x.

En $0$ :

f(0)=\mathrm e^0-1=0 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=\mathrm e^0=1.

La tangente à $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ a donc pour équation :

y=f'(0)(x-0)+f(0)=x.

Le point $A(3;3)$ vérifie bien $3=3$ . Il appartient à la droite d’équation $y=x$ , donc à la tangente $T$ . L’affirmation est vraie.