Sujet bac maths première 2026 — Métropole, La Réunion et Mayotte

Première partie — Automatismes — QCM

Pour cette partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

Répondez aux 8 questions sans calculatrice. Le chronomètre démarre uniquement lorsque vous lancez le quiz.

Questions: 8
Temps indicatif: 8 min
Barème: 6 points

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Question 1. La forme développée de l’expression $(3x-2)^2$ est :
1. $9x^2-4$
2. $3x^2-12x+4$
3. $9x^2-12x+4$
4. $6x^2-4$
Question 2. Dans le repère $(O,I,J)$ ci-dessous, la droite $\Delta$ a pour équation :
1. $y=2x+2$
2. $y=-2x+2$
3. $y=-x+2$
4. $y=x+2$
Question 3. Dans une classe de première, 75 % des élèves étudient le grec. Les 9 autres élèves étudient le latin. Le nombre d’élèves de cette classe est :
1. 24
2. 30
3. 34
4. 36
Question 4. Le prix d’un article augmente de 15 %. Cela signifie que son prix a été multiplié par :
1. $\frac{15}{100}$
2. $1{,}15$
3. $0{,}85$
4. $1{,}115$
Question 5. Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de $\frac{150\,000}{3\,200}$ est :
1. 5
2. 50
3. 500
4. 5 000
Question 6. Une vidéo, d’une durée de 1 minute et 40 secondes, contient 2 400 images. Le nombre d’images par seconde est égal à :
1. 60 images/seconde
2. 24 images/seconde
3. 120 images/seconde
4. 15 images/seconde
Question 7. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=0{,}5(x-3)^2+10$ . On note $\mathcal C$ sa courbe représentative. Lequel de ces points appartient à $\mathcal C$ ?
1. $A(-3;10)$
2. $B(3;10{,}5)$
3. $C(3;10)$
4. $D(0;19{,}5)$
Question 8. On considère le nombre $A=\frac{10^{201}\times10^{-4}}{(10^2)^{100}}$ . On peut affirmer que :
1. $A=-0{,}001$
2. $A=0{,}0001$
3. $A=0{,}001$
4. $A=1\,000$

Voir les réponses du QCM

Question 1 : $9x^2-12x+4$
Question 2 : $y=-x+2$
Question 3 : 36
Question 4 : $1{,}15$
Question 5 : 50
Question 6 : 24 images/seconde
Question 7 : $C(3;10)$
Question 8 : $A=0{,}001$

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 1

Assurance et location de bicyclettes

5 points
30 min conseillées

Énoncé

Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques. Il incite ses clients à prendre une assurance. On dispose des informations suivantes.

60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.
Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance.
20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance.

On choisit un client au hasard et on note les événements :

$T$ : « le client a loué une bicyclette traditionnelle » ;
$A$ : « le client a pris une assurance ».

Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

Donner, par simple lecture de l’énoncé, la probabilité de l’événement $A$ .
Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu’il ait pris une assurance est égale à $0{,}15$ .
En déduire que la probabilité $P\left(\overline T\cap A\right)$ est égale à $0{,}05$ .
Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu’il a loué une bicyclette électrique. On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Compléter l’arbre

Comme 60 % des clients ont loué une bicyclette traditionnelle :

P(T)=0{,}60.

Les événements $T$ et $\overline T$ sont contraires, donc :

P(\overline T)=1-P(T)=1-0{,}60=0{,}40.

Parmi les clients ayant loué une bicyclette traditionnelle, 25 % ont pris une assurance. Ainsi :

P_T(A)=0{,}25 \qquad\text{et}\qquad P_T(\overline A)=1-0{,}25=0{,}75.

Les quatre pointillés de l’arbre sont donc complétés par $0{,}60$ , $0{,}40$ , $0{,}25$ et $0{,}75$ .

2. Lire une probabilité

L’énoncé indique que 20 % de l’ensemble des clients ont pris une assurance. Par conséquent :

\boxed{P(A)=0{,}20}.

3. Probabilité de $T\cap A$

Le chemin correspondant à $T\cap A$ porte les probabilités $P(T)$ et $P_T(A)$ . La règle du produit donne :

P(T\cap A)=P(T)\times P_T(A) =0{,}60\times0{,}25 =\boxed{0{,}15}.

4. Probabilité de $\overline T\cap A$

L’événement $A$ se décompose en deux événements incompatibles : $T\cap A$ et $\overline T\cap A$ . Ainsi :

P(A)=P(T\cap A)+P(\overline T\cap A).

Donc :

P(\overline T\cap A) =0{,}20-0{,}15 =\boxed{0{,}05}.

5. Probabilité conditionnelle

La probabilité cherchée est $P_{\overline T}(A)$ . Par définition :

P_{\overline T}(A) =\frac{P(\overline T\cap A)}{P(\overline T)} =\frac{0{,}05}{0{,}40} =\frac{5}{40} =\boxed{\frac18}.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 2

Trois affirmations à justifier

5 points
30 min conseillées

Énoncé

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.

Les trois questions sont indépendantes.

On considère un réel $u$ . On considère sur $\mathbb R$ l’équation :
$(E)\quad x^2+x-u^2=0.$
Affirmation : quelle que soit la valeur du réel $u$ , l’équation $(E)$ possède deux solutions réelles distinctes.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=2^{-n}$ .

Affirmation : la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ .
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\mathrm e^x-1$ .

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère. On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ . On note $A$ le point de coordonnées $(3;3)$ .

Affirmation : le point $A$ appartient à la tangente $T$ .

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Une équation du second degré

Le discriminant de l’équation $x^2+x-u^2=0$ est :

\Delta=1^2-4\times1\times(-u^2)=1+4u^2.

Pour tout réel $u$ , on a $u^2\geqslant0$ . Par conséquent :

\Delta=1+4u^2\geqslant1>0.

L’équation possède donc toujours deux solutions réelles distinctes. L’affirmation est vraie.

2. Une suite géométrique

Pour tout entier naturel $n$ :

u_{n+1}=2^{-(n+1)} =2^{-n}\times2^{-1} =\frac12u_n.

Chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $\dfrac12$ . La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ . L’affirmation est vraie.

3. Une tangente

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et :

f'(x)=\mathrm e^x.

En $0$ :

f(0)=\mathrm e^0-1=0 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=\mathrm e^0=1.

La tangente à $\mathcal C$ au point d’abscisse $0$ a donc pour équation :

y=f'(0)(x-0)+f(0)=x.

Le point $A(3;3)$ vérifie bien $3=3$ . Il appartient à la droite d’équation $y=x$ , donc à la tangente $T$ . L’affirmation est vraie.

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DEUXIÈME PARTIE · EXERCICE 3

Vecteurs et angle dans un repère

4 points
25 min conseillées

Énoncé

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points $P(4;0)$ et $K(1;0)$ .

On considère un réel $x$ et on note $M$ le point de coordonnées $(x;3)$ .

Donner les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KP}$ ainsi que sa norme.
Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{KM}$ ainsi que sa norme.
Montrer que le produit scalaire $\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM}$ est égal à $3x-3$ .
Montrer que si l’angle $\widehat{PKM}$ est égal à $\dfrac\pi3$ , alors le réel $x$ est solution de l’équation
$(E)\quad \sqrt{(x-1)^2+9}=2x-2.$
Vérifier que le réel $1+\sqrt3$ est solution de l’équation $(E)$ .

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Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Le vecteur $\overrightarrow{KP}$

On soustrait les coordonnées de $K$ à celles de $P$ :

\overrightarrow{KP} =\begin{pmatrix}4-1\\0-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}.

Sa norme vaut :

\left\|\overrightarrow{KP}\right\| =\sqrt{3^2+0^2} =\boxed{3}.

2. Le vecteur $\overrightarrow{KM}$

De même :

\overrightarrow{KM} =\begin{pmatrix}x-1\\3-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x-1\\3\end{pmatrix}.

Par conséquent :

\left\|\overrightarrow{KM}\right\| =\boxed{\sqrt{(x-1)^2+9}}.

3. Le produit scalaire

Avec les coordonnées des deux vecteurs :

\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} =3(x-1)+0\times3 =\boxed{3x-3}.

4. Traduire la mesure de l’angle

L’angle $\widehat{PKM}$ est l’angle formé par les vecteurs $\overrightarrow{KP}$ et $\overrightarrow{KM}$ . Si cet angle vaut $\dfrac\pi3$ , la formule géométrique du produit scalaire donne :

\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} =\left\|\overrightarrow{KP}\right\| \left\|\overrightarrow{KM}\right\| \cos\left(\frac\pi3\right).

En remplaçant chaque terme par sa valeur :

3x-3 =3\sqrt{(x-1)^2+9}\times\frac12.

On multiplie les deux membres par $\dfrac23$ :

2x-2=\sqrt{(x-1)^2+9}.

Le réel $x$ est donc bien solution de l’équation $(E)$ .

5. Vérifier une solution

Pour $x=1+\sqrt3$ , le membre de gauche de $(E)$ vaut :

\sqrt{(1+\sqrt3-1)^2+9} =\sqrt{(\sqrt3)^2+9} =\sqrt{12} =2\sqrt3.

Le membre de droite vaut :

2(1+\sqrt3)-2=2\sqrt3.

Les deux membres sont égaux. Ainsi, $\boxed{1+\sqrt3}$ est bien une solution de $(E)$ .

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Première partie — Automatismes — QCM

Énoncé

1. Compléter l’arbre

2. Lire une probabilité

3. Probabilité de T∩AT\cap AT∩A

4. Probabilité de T‾∩A\overline T\cap AT∩A

5. Probabilité conditionnelle

Énoncé

1. Une équation du second degré

2. Une suite géométrique

3. Une tangente

Énoncé

1. Le vecteur KP→\overrightarrow{KP}KP

2. Le vecteur KM→\overrightarrow{KM}KM

3. Le produit scalaire

4. Traduire la mesure de l’angle

5. Vérifier une solution

3. Probabilité de $T\cap A$

4. Probabilité de $\overline T\cap A$

1. Le vecteur $\overrightarrow{KP}$

2. Le vecteur $\overrightarrow{KM}$