Mathématiques & Physique à VincennesRessources, articles et tutorat
Menu

EXERCICE 3 · 26-MATSPEGEME1

Vecteurs et angle dans un repère

Coordonnées, normes, produit scalaire et équation associée à un angle.

Barème officiel
4 points
Temps conseillé
25 min
Parcours
Spécialité maths
Mis à jour

Énoncé

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère les points P(4;0)P(4;0) et K(1;0)K(1;0).

On considère un réel xx et on note MM le point de coordonnées (x;3)(x;3).

Position des points K, P et M dans un repère orthonorméLe point K est placé en coordonnées 1 et 0, le point P en coordonnées 4 et 0, et le point M en coordonnées x et 3. Sa position horizontale dépend donc du réel x.KPM

  1. Donner les coordonnées du vecteur KP→\overrightarrow{KP} ainsi que sa norme.

  2. Exprimer en fonction de xx les coordonnées du vecteur KM→\overrightarrow{KM} ainsi que sa norme.

  3. Montrer que le produit scalaire KP→⋅KM→\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} est égal à 3x−33x-3.

  4. Montrer que si l’angle PKM^\widehat{PKM} est égal à π3\dfrac\pi3, alors le réel xx est solution de l’équation

    (E)(x−1)2+9=2x−2.(E)\quad \sqrt{(x-1)^2+9}=2x-2.

  5. Vérifier que le réel 1+31+\sqrt3 est solution de l’équation (E)(E).

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

1. Le vecteur KP→\overrightarrow{KP}

On soustrait les coordonnées de KK à celles de PP :

KP→=(4−10−0)=(30).\overrightarrow{KP} =\begin{pmatrix}4-1\\0-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}.

Sa norme vaut :

∥KP→∥=32+02=3.\left\|\overrightarrow{KP}\right\| =\sqrt{3^2+0^2} =\boxed{3}.

2. Le vecteur KM→\overrightarrow{KM}

De même :

KM→=(x−13−0)=(x−13).\overrightarrow{KM} =\begin{pmatrix}x-1\\3-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x-1\\3\end{pmatrix}.

Par conséquent :

∥KM→∥=(x−1)2+9.\left\|\overrightarrow{KM}\right\| =\boxed{\sqrt{(x-1)^2+9}}.

3. Le produit scalaire

Avec les coordonnées des deux vecteurs :

KP→⋅KM→=3(x−1)+0×3=3x−3.\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} =3(x-1)+0\times3 =\boxed{3x-3}.

4. Traduire la mesure de l’angle

L’angle PKM^\widehat{PKM} est l’angle formé par les vecteurs KP→\overrightarrow{KP} et KM→\overrightarrow{KM}. Si cet angle vaut π3\dfrac\pi3, la formule géométrique du produit scalaire donne :

KP→⋅KM→=∥KP→∥∥KM→∥cos⁡(π3).\overrightarrow{KP}\cdot\overrightarrow{KM} =\left\|\overrightarrow{KP}\right\| \left\|\overrightarrow{KM}\right\| \cos\left(\frac\pi3\right).

En remplaçant chaque terme par sa valeur :

3x−3=3(x−1)2+9×12.3x-3 =3\sqrt{(x-1)^2+9}\times\frac12.

On multiplie les deux membres par 23\dfrac23 :

2x−2=(x−1)2+9.2x-2=\sqrt{(x-1)^2+9}.

Le réel xx est donc bien solution de l’équation (E)(E).

5. Vérifier une solution

Pour x=1+3x=1+\sqrt3, le membre de gauche de (E)(E) vaut :

(1+3−1)2+9=(3)2+9=12=23.\sqrt{(1+\sqrt3-1)^2+9} =\sqrt{(\sqrt3)^2+9} =\sqrt{12} =2\sqrt3.

Le membre de droite vaut :

2(1+3)−2=23.2(1+\sqrt3)-2=2\sqrt3.

Les deux membres sont égaux. Ainsi, 1+3\boxed{1+\sqrt3} est bien une solution de (E)(E).