Activités et fréquentation d’un club de vacances

Énoncé

Partie A

Un club de vacances propose deux types d’activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l’après-midi.

On sait que :

un quart des clients participent aux randonnées ;
parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s’inscrit aussi aux activités nautiques de l’après-midi ;
parmi les clients n’ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s’inscrit aux activités nautiques de l’après-midi.

On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :

$R$ l’événement : « le client participe à la randonnée » ;
$N$ l’événement : « le client participe aux activités nautiques ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité représentant la situation.

Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est de $\dfrac38$ .
Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l’après-midi, quelle est la probabilité qu’il ait fait la randonnée du matin ?
Les événements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Partie B

En 2025, le club de vacances a accueilli 400 clients. Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite $(u_n)$ définie par :

u_0=400 \qquad\text{et, pour tout entier naturel }n,\qquad u_{n+1}=1{,}025u_n,

où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l’année $2025+n$ .

Donner la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison.
Selon ce modèle, quel est le taux d’évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?
a. Recopier et compléter la fonction seuil, codée en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $k$ , où $k$ est un entier naturel non nul.

def seuil(k):
    u = 400
    n = 0
    while ......:
        n = ...
        u = ...
    return ...

b. Le tableau ci-dessous a été extrait d’une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de $1{,}025^n$ pour certaines valeurs de $n$ .

$n$	$1{,}025^n$
0	1,00
1	1,03
2	1,05
3	1,08
4	1,10
5	1,13
6	1,16
7	1,19
8	1,22
9	1,25
10	1,28
11	1,31
12	1,34
13	1,38
14	1,41
15	1,45
16	1,48
17	1,52
18	1,56
19	1,60
20	1,64
21	1,68

Déterminer la valeur renvoyée par l’instruction seuil(600), où seuil est la fonction codée en Python donnée en 3. a. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Aide au calcul : $400\times1{,}5=600$ .

Voir la correction détaillée

Cette correction est proposée par le site. Elle ne constitue pas un corrigé officiel du ministère.

Partie A — Exploiter l’arbre de probabilités

Les données de l’énoncé donnent directement :

P(R)=\frac14, \qquad P_R(N)=\frac12, \qquad P_{\overline R}(N)=\frac13.

Sur chaque nœud, les probabilités des deux branches ont pour somme $1$ . On en déduit :

P(\overline R)=\frac34, \qquad P_R(\overline N)=\frac12, \qquad P_{\overline R}(\overline N)=\frac23.

L’événement $N$ peut être réalisé par les chemins $R\cap N$ et $\overline R\cap N$ . La formule des probabilités totales donne :

\begin{aligned} P(N) &=P(R)P_R(N)+P(\overline R)P_{\overline R}(N)\\ &=\frac14\times\frac12+\frac34\times\frac13\\ &=\frac18+\frac14 =\boxed{\frac38}. \end{aligned}

On cherche $P_N(R)$ . Or :

P(R\cap N)=P(R)P_R(N)=\frac14\times\frac12=\frac18.

Ainsi :

P_N(R)=\frac{P(R\cap N)}{P(N)} =\frac{\frac18}{\frac38} =\boxed{\frac13}.

Si $R$ et $N$ étaient indépendants, on aurait $P_R(N)=P(N)$ . Pourtant :

P_R(N)=\frac12 \qquad\text{et}\qquad P(N)=\frac38.

Ces probabilités sont différentes : les événements $R$ et $N$ ne sont pas indépendants.

Partie B — Modéliser la fréquentation

Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=1{,}025u_n$ . La suite $(u_n)$ est donc géométrique, de premier terme $u_0=400$ et de raison $q=1{,}025$ .
Comme $1{,}025=1+\dfrac{2{,}5}{100}$ , le modèle correspond à une augmentation annuelle de 2,5 %.
a. Tant que u est strictement inférieur à k, on passe au rang suivant et on multiplie le terme par $1{,}025$ :

def seuil(k):
    u = 400
    n = 0
    while u < k:
        n = n + 1
        u = 1.025 * u
    return n

b. Puisque $u_n=400\times1{,}025^n$ , la condition $u_n\geqslant600$ équivaut à :

1{,}025^n\geqslant\frac{600}{400}=1{,}5.

Le tableau donne $1{,}025^{16}\approx1{,}48<1{,}5$ et $1{,}025^{17}\approx1{,}52\geqslant1{,}5$ . La fonction renvoie donc :

\boxed{17}.

Selon ce modèle, le club accueillera au moins 600 clients pour la première fois en $2025+17$ , c’est-à-dire en 2042.