Tout savoir sur les ensembles de nombres et intervalles pour le lycée

Pendant les trois années de lycée, de nombreux nouveaux outils mathématiques vont être introduits (fonctions, polynômes, dérivation, intégration, etc). Pour pouvoir utiliser avec rigueur (et simplicité) ces outils, il va falloir se munir d’un nouveau type de nombre, les nombres réels. Cet ensemble contient tous les ensembles de nombres introduits au collège, des entiers naturels aux nombres rationnels. Les nombres réels permettent l’introduction de la notion d’intervalle, très utile dans de nombreux contextes.

Cette note commence donc par le vocabulaire des ensembles, rappelle les ensembles usuels introduits au collège, introduit les réels, puis se concentre sur les intervalles de la droite réelle. Le symbole $\mathbb R$ désigne l’ensemble de tous les nombres réels.

Éléments, sous-ensembles et opérations

Un ensemble est une collection d’objets, appelés ses éléments. Pour un ensemble fini, on peut les écrire entre accolades :

$$E=\{1,2,3\}.$$

L’ordre et les répétitions ne comptent pas : $\{3,1,2,1\}=E$. Cet ensemble possède trois éléments ; on note $\operatorname{Card}(E)=3$.

Appartenance ou inclusion ?

Le symbole $\in$ relie un élément à un ensemble :

$$2\in E \qquad\text{et}\qquad 4\notin E.$$

Le symbole $\subset$ relie deux ensembles. Si $F=\{1,3\}$, tous les éléments de $F$ appartiennent à $E$, donc $F\subset E$.

Avec la convention de cette leçon, $\subset$ autorise l’égalité. L’écriture $F\subsetneq E$ précise que l’inclusion est stricte. L’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté $\varnothing$.

Intersection et réunion

L’intersection $A\cap B$ contient les éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$. La réunion $A\cup B$ contient les éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$, y compris ceux qui appartiennent aux deux.

Par exemple, si $A=\{1,2,3\}$ et $B=\{3,4\}$, alors

$$A\cap B=\{3\} \qquad\text{et}\qquad A\cup B=\{1,2,3,4\}.$$

Faire glisser horizontalement pour voir les trois schémas.

Enfin, le complémentaire de $A$ dans un ensemble de référence $E$, noté $E\setminus A$, contient les éléments de $E$ qui n’appartiennent pas à $A$. L’ensemble de référence doit toujours être connu.

Exercices

1. Soient $E=\{0,1,2,3,4\}$ et $A=\{0,2,4\}$. Compléter avec $\in$, $\notin$, $\subset$ ou $\not\subset$ : $2\ \ldots\ A$, $3\ \ldots\ A$, $A\ \ldots\ E$ et $\{1,5\}\ \ldots\ E$.
2. Avec $A=\{0,2,4\}$ et $B=\{2,3,4\}$, déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.
3. Déterminer $E\setminus A$, puis vérifier que $A\cap(E\setminus A)=\varnothing$.

Correction de l’exercice 1

1. $2\in A$, $3\notin A$, $A\subset E$ et $\{1,5\}\not\subset E$, car $5\notin E$.

Correction de l’exercice 2

2. Les éléments communs et les éléments rassemblés donnent

$$A\cap B=\{2,4\}, \qquad A\cup B=\{0,2,3,4\}.$$

Correction de l’exercice 3

3. $E\setminus A=\{1,3\}$. Aucun de ces deux éléments n’appartient à $A$, donc $A\cap(E\setminus A)=\varnothing$.

Pour aller plus loin : plusieurs opérations

Lorsque plusieurs réunions et intersections se suivent, les parenthèses indiquent l’opération à effectuer en premier. Prenons

$$A=\{1,2\}, \qquad B=\{2,3\}, \qquad C=\{3\}.$$

En calculant d’abord la réunion de $A$ et de $B$, on obtient

$$(A\cup B)\cap C =\{1,2,3\}\cap\{3\} =\{3\}.$$

En calculant d’abord l’intersection de $B$ et de $C$, on trouve

$$A\cup(B\cap C) =\{1,2\}\cup\{3\} =\{1,2,3\}.$$

Les deux résultats diffèrent : quand $\cup$ et $\cap$ sont mélangés, les parenthèses peuvent donc changer l’ensemble obtenu. Avec une seule opération, on peut regrouper librement les calculs :

$$(A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)$$

et la même propriété vaut pour l’intersection.

Les principaux ensembles de nombres

Les ensembles usuels sont emboîtés. Un nombre naturel est aussi un entier, un nombre décimal, un rationnel et un réel.

Les entiers naturels $\mathbb N$

$\mathbb N$ contient les entiers positifs ou nuls :

$$\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}.$$

Ils servent notamment à compter. Dans cette leçon, $0$ appartient à $\mathbb N$.

Les entiers relatifs $\mathbb Z$

$\mathbb Z$ contient les entiers naturels, leurs opposés et $0$ :

$$\mathbb Z=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}.$$

Ainsi, $-7\in\mathbb Z$ et $-7\notin\mathbb N$.

Les nombres décimaux $\mathbb D$

Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme

$$\frac{a}{10^n}, \qquad a\in\mathbb Z,\quad n\in\mathbb N.$$

Son écriture décimale est donc finie. Par exemple,

$$0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac18, \qquad -2{,}4=\frac{-24}{10}=\frac{-12}{5}.$$

Un entier est décimal : $7=\frac7{10^0}$. Un nombre décimal ne possède pas forcément de virgule dans l’écriture choisie.

Les nombres rationnels $\mathbb Q$

Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire comme le quotient de deux entiers :

$$\frac pq, \qquad p\in\mathbb Z,\quad q\in\mathbb Z,\quad q\ne0.$$

Tous les décimaux sont rationnels. La réciproque est fausse :

$$\frac13=0{,}333\ldots$$

L’écriture décimale de $\frac13$ ne s’arrête jamais. Elle est périodique : le chiffre $3$ se répète indéfiniment.

La période peut comporter plusieurs chiffres. Par exemple,

$$\frac17=0{,}142857\,142857\,142857\ldots$$

La période est ici le bloc de six chiffres $142857$.

Plus généralement, l’écriture décimale d’un rationnel est finie ou périodique à partir d’un certain rang. Pour comprendre pourquoi, effectuons la division posée de $p$ par $|q|$. À chaque étape, le reste détermine entièrement le chiffre décimal suivant et le nouveau reste.

Il n’existe que $|q|$ restes possibles : $0,1,\ldots,|q|-1$. Si le reste devient nul, l’écriture décimale s’arrête. Sinon, un même reste apparaît une seconde fois. À partir de là, les mêmes calculs produisent les mêmes chiffres dans le même ordre : l’écriture devient périodique.

Les nombres réels $\mathbb R$

$\mathbb R$ contient tous les nombres repérables sur une droite graduée. Il réunit les rationnels et les irrationnels, comme $\sqrt2$ et $\pi$, qui ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux entiers.

À noter que c’est une définition assez vague et peu rigoureuse. C’est à vrai dire un ensemble assez complexe à définir proprement, et en général il n’est abordé (éventuellement) que dans le supérieur. En fin de chapitre, je donne quelques notions et exemples sur pourquoi nous avons besoin de cet ensemble.

Exercices

1. Donner le plus petit ensemble usuel contenant chacun des nombres suivants : $-4$, $6$, $0{,}07$, $\frac27$ et $\sqrt5$.
2. Dire si les affirmations suivantes sont vraies : $-3\in\mathbb N$, $\{2\}\subset\mathbb N$, $\mathbb Z\subset\mathbb D$ et $\pi\in\mathbb Q$.
3. Donner un exemple appartenant à $\mathbb Q\setminus\mathbb D$, puis un exemple appartenant à $\mathbb R\setminus\mathbb Q$.

Correction de l’exercice 1

1. Les plus petits ensembles sont $\mathbb Z$ pour $-4$, $\mathbb N$ pour $6$, $\mathbb D$ pour $0{,}07$, $\mathbb Q$ pour $\frac27$ et $\mathbb R$ pour $\sqrt5$.

Correction de l’exercice 2

2. $-3\in\mathbb N$ est faux. Les deux inclusions $\{2\}\subset\mathbb N$ et $\mathbb Z\subset\mathbb D$ sont vraies. L’affirmation $\pi\in\mathbb Q$ est fausse.

Correction de l’exercice 3

3. On peut choisir $\frac13\in\mathbb Q\setminus\mathbb D$ et $\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$.

Écritures décimales, fractions et nombres irrationnels

L’écriture d’un nombre peut changer sans que le nombre change :

$$0{,}125=\frac{125}{1000}=\frac18.$$

Ces trois écritures désignent exactement le même nombre. Les écritures décimale et fractionnaire permettent notamment de déterminer à quels ensembles usuels il appartient.

Déterminer si une fraction représente un nombre décimal

On commence par rendre la fraction irréductible et son dénominateur positif. Elle représente un nombre décimal exactement lorsque le dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que $2$ et $5$ :

$$q=2^\alpha5^\beta, \qquad \alpha,\beta\in\mathbb N.$$

En effet, $10^n=2^n5^n$. On peut alors compléter les facteurs manquants afin d’obtenir une puissance de $10$ au dénominateur.

Par exemple,

$$\frac7{40} =\frac7{2^3\times5} =\frac{175}{1000} =0{,}175.$$

En revanche, $\frac13$ n’est pas décimal, car son dénominateur contient le facteur $3$. Il faut toujours réduire la fraction avant d’appliquer le critère : $\frac6{15}=\frac25=0{,}4$ est bien décimal.

Pourquoi $\sqrt2$ n’est-il pas rationnel ?

La démonstration se fait par l’absurde. Supposons que $\sqrt2$ soit rationnel. Il existerait alors deux entiers $p$ et $q$, avec $q>0$, tels que

$$\sqrt2=\frac pq,$$

la fraction $\frac pq$ étant irréductible.

En élevant l’égalité au carré, on obtient

$$p^2=2q^2.$$

Ainsi, $p^2$ est pair. Or le carré d’un entier impair est impair ; $p$ est donc pair. Il existe un entier $k$ tel que $p=2k$.

En remplaçant $p$ :

$$4k^2=2q^2,$$

puis, après division par $2$,

$$q^2=2k^2.$$

Le même raisonnement montre que $q$ est pair. $p$ et $q$ possèdent donc tous les deux le facteur $2$, ce qui contredit l’irréductibilité de $\frac pq$.

Exercices

1. Parmi $\frac{21}{60}$, $\frac7{30}$, $\frac9{125}$ et $\frac{42}{150}$, déterminer les fractions qui représentent des nombres décimaux. Donner alors leur écriture décimale.
2. Montrer par l’absurde que $\frac13$ n’est pas décimal. On pourra supposer qu’il existe $a\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$ tels que $\frac13=\frac{a}{10^n}$.
3. Trouver un nombre décimal strictement compris entre $\frac27$ et $\frac13$.
4. Trouver un nombre décimal strictement compris entre $\sqrt2$ et $\sqrt3$.

Correction de l’exercice 1

1. On réduit $\frac{21}{60}=\frac7{20}$. Comme $20=2^2\times5$, $\frac7{20}=0{,}35$ est décimal.

   La fraction $\frac7{30}$ est irréductible et son dénominateur contient le facteur $3$ : elle n’est pas décimale. Enfin, $125=5^3$, donc $\frac9{125}=\frac{72}{1000}=0{,}072$ est décimal.

   On réduit aussi $\frac{42}{150}=\frac7{25}$. Comme $25=5^2$, $\frac7{25}=\frac{28}{100}=0{,}28$ est décimal.

Correction de l’exercice 2

2. Supposons que $\frac13=\frac{a}{10^n}$. En multipliant par $3\times10^n$, on obtient

   $$10^n=3a.$$

   Le membre de droite est divisible par $3$. Le membre de gauche possède seulement les facteurs premiers $2$ et $5$, car $10^n=2^n5^n$. Cette contradiction montre que $\frac13$ n’est pas décimal.

Correction de l’exercice 3

3. Commençons par chercher un décimal avec un seul chiffre après la virgule. Il est de la forme $\frac p{10}$, avec $p\in\mathbb Z$. On veut donc

   $$\frac27<\frac p{10}<\frac13.$$

   En multipliant les trois membres par $210$, qui est positif, on obtient

   $$60<21p<70.$$

   Le choix $p=3$ convient puisque $60<63<70$. Ainsi,

   $$\frac27<\frac3{10}<\frac13.$$

   Le nombre décimal recherché peut donc être $\frac3{10}=0{,}3$.

Correction de l’exercice 4

4. Commençons par chercher un décimal avec un seul chiffre après la virgule, de la forme $\frac p{10}$ avec $p\in\mathbb Z$. Puisque $\sqrt2<\frac p{10}$, l’entier $p$ est positif. On peut donc élever les trois membres au carré :

   $$\sqrt2<\frac p{10}<\sqrt3 \quad\Longleftrightarrow\quad 200<p^2<300.$$

   On teste les carrés voisins : $14^2=196$, $15^2=225$ et $16^2=256$. Le choix $p=15$ convient, donc $\sqrt2<1{,}5<\sqrt3$.

Valeur exacte, encadrement, arrondi et écriture scientifique

Une valeur exacte désigne le nombre lui-même. Ainsi, $\sqrt2$ et $\pi$ sont des valeurs exactes. L’affichage décimal d’une calculatrice fournit une valeur approchée de ces nombres.

Un encadrement situe un réel entre une borne inférieure et une borne supérieure. Son amplitude est la différence entre les deux bornes. Par exemple,

$$1{,}414<\sqrt2<1{,}415$$

est un encadrement décimal d’amplitude $1{,}415-1{,}414=0{,}001=10^{-3}$. Il encadre donc $\sqrt2$ à $10^{-3}$ près.

Pour construire un encadrement décimal à $10^{-n}$ près, on cherche deux décimaux consécutifs ayant $n$ chiffres après la virgule. Ici,

$$1{,}414^2=1{,}999\,396<2 \qquad\text{et}\qquad 1{,}415^2=2{,}002\,225>2,$$

ce qui justifie l’encadrement précédent.

On peut répéter cette recherche par balayage, en ajoutant un chiffre à chaque étape :

$$1<\sqrt2<2, \qquad 1{,}4<\sqrt2<1{,}5, \qquad 1{,}41<\sqrt2<1{,}42, \qquad 1{,}414<\sqrt2<1{,}415.$$

L’arrondi retient le décimal le plus proche à la précision demandée. Pour arrondir $\sqrt2$ au millième, on le compare au milieu $1{,}4145$. Or

$$1{,}414<\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad 1{,}4145^2=2{,}000\,810\,25>2.$$

Ainsi, $1{,}414<\sqrt2<1{,}4145$ et

$$\sqrt2\simeq1{,}414$$

au millième. Le symbole $\simeq$ indique une valeur approchée.

Écriture scientifique et chiffres significatifs

L’écriture scientifique, déjà rencontrée au collège, s’écrit $a\times10^n$, avec $1\le |a|<10$ et $n\in\mathbb Z$. Elle donne une autre écriture exacte d’un nombre décimal :

$$37\,500=3{,}75\times10^4, \qquad 0{,}0042=4{,}2\times10^{-3}.$$

Dans un problème, on choisit une précision adaptée aux données et à la grandeur étudiée. Les chiffres significatifs se comptent à partir du premier chiffre non nul. Après arrondi, l’écriture scientifique fait apparaître directement le nombre de chiffres conservés :

$$0{,}004267 =4{,}267\times10^{-3} \simeq4{,}27\times10^{-3}$$

à trois chiffres significatifs. De la même manière, l’arrondi de $\sqrt2$ au millième peut s’écrire $\sqrt2\simeq1{,}414\times10^0$.

Exercices

1. Donner un encadrement de $\sqrt7$ d’amplitude $10^{-2}$, puis son arrondi au centième.
2. On admet que $3{,}14159<\pi<3{,}14160$. En déduire l’arrondi de $\pi$ au millième, puis au dix-millième.
3. Écrire $0{,}00056$ et $428\,000$ en écriture scientifique.
4. Arrondir $0{,}004267$ à deux chiffres significatifs, puis à trois chiffres significatifs. Donner les deux résultats en écriture scientifique.

Correction de l’exercice 1

1. On calcule $2{,}64^2=6{,}9696<7$ et $2{,}65^2=7{,}0225>7$. Ainsi,

   $$2{,}64<\sqrt7<2{,}65.$$

   Cet encadrement a pour amplitude $0{,}01=10^{-2}$. Pour choisir l’arrondi, on compare $\sqrt7$ au milieu $2{,}645$. Comme $2{,}645^2=6{,}996\,025<7$, on a $\sqrt7>2{,}645$. Son arrondi au centième vaut donc $2{,}65$.

Correction de l’exercice 2

2. Comme $3{,}1415<\pi<3{,}1425$, l’arrondi au millième est $3{,}142$. De plus, $3{,}14155<\pi<3{,}14165$, donc l’arrondi au dix-millième est $3{,}1416$.

Correction de l’exercice 3

3. On obtient

   $$0{,}00056=5{,}6\times10^{-4}, \qquad 428\,000=4{,}28\times10^5.$$

Correction de l’exercice 4

4. On part de $0{,}004267=4{,}267\times10^{-3}$. À deux chiffres significatifs, le chiffre suivant est $6$, donc l’arrondi est $4{,}3\times10^{-3}$. À trois chiffres significatifs, le chiffre suivant est $7$, donc l’arrondi est $4{,}27\times10^{-3}$.

Tous les réels sur une même droite

La droite graduée réunit les entiers, les décimaux, les rationnels non décimaux et les irrationnels. Leur nature dépend de leurs écritures possibles. Leur position sur la droite ne suffit pas à les classer.

Deux réels distincts peuvent être aussi proches que l’on veut. Entre deux réels, on trouve toujours d’autres réels, et même une infinité de rationnels et d’irrationnels.

Exercices

1. Ranger $-\frac12$, $\sqrt2$, $\frac32$ et $\pi$ dans l’ordre croissant.
2. Placer approximativement $-\sqrt3$, $\frac14$ et $\sqrt5$ sur une droite graduée, après les avoir encadrés par deux entiers consécutifs.
3. Donner un rationnel et un irrationnel appartenant à l’intervalle $]2\,;\,3[$.

Correction de l’exercice 1

1. On sait que $1<\sqrt2<1{,}5$ car $1<2<2{,}25$, et que $\pi>3$. Ainsi,

$$-\frac12<\sqrt2<\frac32<\pi.$$

Correction de l’exercice 2

2. Comme $1<\sqrt3<2$, on a $-2<-\sqrt3<-1$. De plus, $0<\frac14<1$ et $2<\sqrt5<3$. Ces encadrements suffisent pour placer les trois points dans les unités correspondantes.

Correction de l’exercice 3

3. $\frac52=2{,}5$ est rationnel et $\sqrt5$ est irrationnel. Tous deux appartiennent à $]2\,;\,3[$.

Des inéquations aux intervalles

Un intervalle contient tous les réels compris entre ses bornes. Pour $a<b$, les crochets indiquent si les bornes appartiennent à l’intervalle.

L’infini n’est pas un nombre réel. Le crochet est donc toujours ouvert de son côté.

Résolvons $2x-1<7$ :

$$2x-1<7 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x<8 \quad\Longleftrightarrow\quad x<4.$$

L’ensemble des solutions est donc $]-\infty\,;\,4[$. Le nombre $4$ est exclu puisque l’inégalité est stricte.

Exercices

1. Traduire en intervalle : $-2<x\le5$, $x\ge3$ et $x<-1$.
2. Traduire en inégalité : $x\in[-4\,;\,2[$ et $x\in]7\,;\,+\infty[$.
3. Résoudre $-3x+2\ge11$ et écrire l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

Correction de l’exercice 1

1. Les trois intervalles sont respectivement $]-2\,;\,5]$, $[3\,;\,+\infty[$ et $]-\infty\,;\,-1[$.

Correction de l’exercice 2

2. Les conditions sont $-4\le x<2$ et $x>7$.

Correction de l’exercice 3

3. On calcule

   $$-3x+2\ge11 \quad\Longleftrightarrow\quad -3x\ge9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le-3.$$

   Le sens de l’inégalité change lors de la division par $-3$. L’ensemble des solutions est $]-\infty\,;\,-3]$.

Intersection et réunion d’intervalles

Les opérations introduites pour des ensembles quelconques s’appliquent aux intervalles.

Prenons

$$A=[-2\,;\,3] \qquad\text{et}\qquad B=]1\,;\,5[.$$

L’intersection conserve les nombres communs aux deux intervalles :

$$A\cap B=]1\,;\,3].$$

La réunion rassemble tous les nombres couverts par au moins l’un des deux :

$$A\cup B=[-2\,;\,5[.$$

Deux conditions reliées par et conduisent généralement à une intersection. Deux conditions reliées par ou conduisent généralement à une réunion.

Si deux intervalles sont séparés, leur réunion conserve le trou. Par exemple,

$$] -\infty\,;\,-1[ \;\cup\; ]2\,;\,+\infty[$$

ne peut pas être remplacé par un seul intervalle.

La leçon sur la valeur absolue montre comment décrire un intervalle centré à l’aide d’une distance.

Exercices

1. Soient $A=[-4\,;\,1[$ et $B=[1\,;\,3]$. Déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.
2. Déterminer $[-2\,;\,5]\cap]1\,;\,8[$ et $[-2\,;\,5]\cup]1\,;\,8[$.
3. Résoudre simultanément $x\ge-3$ et $x<2$, puis résoudre les deux conditions reliées par « ou ».

Correction de l’exercice 1

1. Le nombre $1$ appartient seulement à $B$. Les deux intervalles n’ont aucun élément commun :

$$A\cap B=\varnothing.$$

Tous les réels de $-4$ à $3$ sont couverts, car $1$ est fourni par $B$. Ainsi,

$$A\cup B=[-4\,;\,3].$$

Correction de l’exercice 2

2. La partie commune est $]1\,;\,5]$ et l’ensemble couvert par au moins un intervalle est $[-2\,;\,8[$.

Correction de l’exercice 3

3. Avec « et », on prend l’intersection : $[-3\,;\,2[$. Avec « ou », les deux demi-droites couvrent $\mathbb R$.

Couples et produit cartésien

Un couple $(a\,;\,b)$ possède deux positions ordonnées. En général, $(a\,;\,b)\ne(b\,;\,a)$.

Si $E=\{1,2\}$ et $F=\{3,4\}$, le produit cartésien $E\times F$ contient tous les couples dont le premier élément appartient à $E$ et le second à $F$ :

$$E\times F =\{(1\,;\,3),(1\,;\,4),(2\,;\,3),(2\,;\,4)\}.$$

Cette notion apparaît notamment avec les coordonnées des points du plan et les issues d’une expérience à deux étapes.

Exercices

1. Soient $G=\{a,b\}$ et $H=\{0,1,2\}$. Combien d’éléments possède $G\times H$ ? En donner la liste.
2. Écrire $H\times G$ et expliquer pourquoi il diffère de $G\times H$.
3. Si $\operatorname{Card}(M)=4$ et $\operatorname{Card}(N)=5$, déterminer $\operatorname{Card}(M\times N)$.

Correction de l’exercice 1

1. Chaque élément de $G$ peut être associé aux trois éléments de $H$. Le produit cartésien possède donc $2\times3=6$ éléments :

$$G\times H =\{(a\,;\,0),(a\,;\,1),(a\,;\,2), (b\,;\,0),(b\,;\,1),(b\,;\,2)\}.$$

Correction de l’exercice 2

2. On inverse les rôles des deux positions :

   $$H\times G =\{(0\,;\,a),(0\,;\,b),(1\,;\,a),(1\,;\,b), (2\,;\,a),(2\,;\,b)\}.$$

   Les premiers éléments appartiennent ici à $H$, ce qui produit des couples différents de ceux de $G\times H$.

Correction de l’exercice 3

3. Chaque élément de $M$ peut être associé aux cinq éléments de $N$, donc $\operatorname{Card}(M\times N)=4\times5=20$.

Ouverture : pourquoi avons-nous besoin des nombres réels ?

On pourrait penser que les nombres rationnels (voire décimaux) sont suffisants pour la plupart des problèmes mathématiques classiques car il est toujours possible de s’approcher aussi près que l’on veut d’une valeur “exacte” à l’aide d’une fraction d’entiers relatifs. Ce n’est malheureusement (ou heureusement) pas suffisant. De nombreux problèmes formulés à l’aide de nombres rationnels ont des solutions qui n’en sont pas. Les nombres rationnels sont d’une certaine manière composés d’une infinité de trous qui amènent à des situations problématiques. Travailler avec les nombres réels permet de pallier (presque) tous ces problèmes. Voici quelques exemples de problématiques posées par les nombres rationnels. Cette ouverture va au-delà du programme de seconde. La convergence des suites et le théorème des valeurs intermédiaires sont étudiés en terminale spécialité ; la construction décimale proposée ici constitue un approfondissement.

Certaines équations à coefficients rationnels conduisent à des nombres irrationnels

Considérons l’équation

$$x^2-2=0.$$

Ses coefficients $1$, $0$ et $-2$ sont rationnels. Ses deux solutions sont pourtant

$$x=-\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad x=\sqrt2,$$

qui sont irrationnelles. L’ensemble $\mathbb Q$ ne contient donc pas toutes les solutions des équations du second degré à coefficients rationnels.

Les nombres réels ajoutent notamment ces solutions.

Une suite de rationnels peut avoir une limite irrationnelle

Considérons la suite définie par

$$u_1=10^{-1!} \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+10^{-(n+1)!} \quad\text{pour }n\in\mathbb N^*.$$

La notation $m!$ désigne le produit des entiers de $1$ à $m$. Les premiers termes sont

$$\begin{aligned} u_1=0{,}1, \qquad u_2=0{,}11, \qquad u_3=0{,}110001, \\[0.5em] u_4=0{,}110\,001\,000\,000\,000\,000\,000\,001. \end{aligned}$$

Chaque terme possède une écriture décimale finie : tous les $u_n$ sont donc rationnels. La suite est croissante, puisque l’on ajoute un nombre strictement positif à chaque étape. Elle est également majorée par $1$ :

$$0<u_n<1.$$

Toute suite croissante et majorée converge. Notons $L$ la limite de $(u_n)$. Son écriture décimale possède un chiffre $1$ aux positions

$$1!,\ 2!,\ 3!,\ 4!,\ldots$$

et un chiffre $0$ à toutes les autres positions. Les blocs de zéros deviennent de plus en plus longs, car l’écart entre deux factorielles consécutives tend vers l’infini.

Supposons, par l’absurde, que $L$ soit rationnel. Son écriture décimale serait alors périodique à partir d’un certain rang. Notons $r$ la longueur d’une période. On peut choisir un entier $k$ assez grand pour que la position $k!$ se trouve dans la partie périodique et que

$$(k+1)!-k!>r.$$

Le chiffre situé à la position $k!$ est $1$. La périodicité imposerait donc un autre chiffre $1$ à la position $k!+r$. Or cette position est strictement comprise entre $k!$ et $(k+1)!$ ; par construction, son chiffre est $0$. Cette contradiction prouve que $L$ est irrationnel.

La suite $(u_n)$ est ainsi uniquement composée de nombres rationnels et converge vers un nombre irrationnel construit sans connaître sa valeur à l’avance.

Les rationnels posent problème pour la continuité des fonctions

Étudions la fonction $f$ définie sur $[1\,;\,2]$ par

$$f(x)=x^2-2.$$

Aux extrémités de l’intervalle,

$$f(1)=-1<0 \qquad\text{et}\qquad f(2)=2>0.$$

La courbe est continue. En allant de la valeur négative $-1$ à la valeur positive $2$, elle devrait intuitivement rencontrer l’axe des abscisses sur son chemin.

Or, si l’on autorisait seulement les abscisses rationnelles, $\sqrt2$ manquerait, car aucun $q\in\mathbb Q$ ne vérifie $q^2-2=0$. La fonction ne croiserait donc pas l’axe des abscisses dans $\mathbb Q$.

Les nombres rationnels comportent des trous qui empêchent d’utiliser certaines propriétés naturelles associées à la continuité. En se plaçant sur un intervalle de réels, le théorème des valeurs intermédiaires assure que la fonction passe bien par $0$ entre $1$ et $2$.

Ouverture : les nombres complexes

Le prolongement des rationnels aux réels a permis de fournir un cadre plus complet pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques. Dans le même esprit, les mathématiciens ont voulu aller plus loin et introduire un nouvel ensemble de nombres pour résoudre certains problèmes qui résistaient aux nombres réels : les nombres complexes. Ils sont introduits en terminale, dans l’option mathématiques expertes.

Les nombres complexes prolongent les réels et permettent notamment de résoudre toutes les équations du second degré à coefficients réels.

Pour cela, il faut introduire un nombre $i$ solution de l’équation $x^2=-1$. $i$ est appelé l’unité imaginaire et peut se voir, de façon intuitive et historique, comme la racine de $-1$ : $\sqrt{-1}$. Cette écriture n’est toutefois pas rigoureuse dans $\mathbb R$, car la fonction racine carrée n’y est pas définie pour les nombres négatifs.

Muni de ce nombre, un nombre complexe s’écrit $a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$.

Leur ensemble est noté $\mathbb C$ et

$$\mathbb R\subset\mathbb C.$$

Une conséquence vue en terminale est que dans $\mathbb C$, un trinôme du second degré à coefficients réels admet toujours deux racines (ou une racine double), même quand son discriminant est négatif.