Maîtriser la valeur absolue et éviter ses pièges

La valeur absolue est une notion facile à définir, mais souvent source de nombreuses erreurs si elle est manipulée sans un minimum de méthode et de rigueur. C’est un nouvel outil introduit en seconde et qui, comme les fractions, les racines ou les puissances, doit devenir un automatisme.

Nous commencerons par interpréter la valeur absolue comme une distance et par l’utiliser pour décrire des intervalles centrés. Nous étudierons ensuite sa représentation graphique et des méthodes de résolution plus avancées, avant de l’appliquer aux écarts en probabilités. Cette leçon est dans la continuité de la note sur les ensembles et intervalles.

Seconde : la valeur absolue comme distance

Distance à zéro

Pour tout réel $x$, $|x|$ désigne la distance entre $x$ et $0$. On lit « valeur absolue de $x$ ». Une distance étant positive ou nulle, on a toujours $|x|\geq0$.

Par exemple,

$$|5|=5,\qquad |-5|=5,\qquad |0|=0.$$

La valeur absolue dépend de la valeur de toute l’expression placée entre les barres. Pour calculer $|-3+5|$, on commence donc par effectuer l’addition :

$$|-3+5|=|2|=2.$$

Pourquoi obtient-on $-x$ lorsque $x<0$ ? Si $x=-5$, alors $-x=5$, qui est bien la distance entre $-5$ et $0$.

Racine carrée et valeur absolue$

La racine carrée désigne toujours le nombre positif ou nul dont le carré est le nombre donné. On peut donc écrire

$$\sqrt{x^2}=|x|.$$

Pour $x=-3$,

$$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3=|-3|.$$

On peut retirer les barres seulement lorsque le signe de $x$ est connu :

$$\sqrt{x^2}= \begin{cases} x & \text{si }x\geq0,\\ -x & \text{si }x<0. \end{cases}$$

Distance entre deux réels

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est

$$d(a,b)=|a-b|.$$

L’ordre de la soustraction ne change pas la distance :

$$|a-b|=|b-a|.$$

Entre $-2$ et $3$, par exemple,

$$|-2-3|=|-5|=5 \qquad\text{et}\qquad |3-(-2)|=|5|=5.$$

La notation $|x-a|$ représente ainsi la distance entre un réel variable $x$ et le réel fixe $a$.

Deux propriétés à ne pas confondre

La valeur absolue se comporte bien avec un produit, comme nous le verrons en première. Elle ne se distribue généralement pas sur une somme. Un seul contre-exemple suffit à le montrer :

$$|2+(-2)|=0 \qquad\text{alors que}\qquad |2|+|-2|=4.$$

Exercices

1. Calculer des valeurs absolues

Calculer $|-7|$, $|3-8|$, $|-3+5|$ et $-|4-9|$.

Voir la correction de l’exercice 1

$$|-7|=7,\qquad |3-8|=|-5|=5,\qquad |-3+5|=|2|=2.$$

Enfin, $|4-9|=|-5|=5$, donc

$$-|4-9|=-5.$$

Le signe moins de la dernière expression se trouve à l’extérieur des barres.

2. Calculer des distances

Calculer la distance entre $-4$ et $2$, puis celle entre $3{,}5$ et $-1{,}5$.

Voir la correction de l’exercice 2

$$d(-4,2)=|2-(-4)|=|6|=6.$$

De même,

$$d(3{,}5,-1{,}5)=|3{,}5-(-1{,}5)|=|5|=5.$$

3. Simplifier une racine carrée

1. Calculer $\sqrt{(-6)^2}$.
2. Simplifier $\sqrt{x^2}$ lorsque $x\geq0$, puis lorsque $x<0$.
3. Écrire $\sqrt{(x-3)^2}$ sans racine carrée, selon la position de $x$ par rapport à $3$.

Voir la correction de l’exercice 3

On a $\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$.

Si $x\geq0$, alors $\sqrt{x^2}=|x|=x$. Si $x<0$, alors $\sqrt{x^2}=|x|=-x$.

Enfin,

$$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|= \begin{cases} x-3 & \text{si }x\geq3,\\ 3-x & \text{si }x<3. \end{cases}$$

4. Vrai ou faux ?

Pour chaque égalité, dire si elle est toujours vraie. Donner un contre-exemple lorsqu’elle est fausse.

1. $|-3|=-3$ ;
2. $|2\times(-5)|=|2|\times|-5|$ ;
3. $|4-9|=4-9$ ;
4. $|a+b|=|a|+|b|$ pour tous réels $a$ et $b$.

Voir la correction de l’exercice 4

1. L’égalité est fausse : $|-3|=3$.
2. Elle est vraie ici : les deux membres valent $10$. La propriété est vraie pour tous réels ; elle sera établie plus loin.
3. Elle est fausse : $|4-9|=5$, tandis que $4-9=-5$.
4. Elle est fausse. Avec $a=2$ et $b=-2$, le membre de gauche vaut $0$ et celui de droite vaut $4$.

Seconde : intervalles centrés et inéquations

De la distance à l’intervalle

Soient un réel $a$ et un rayon $r\geq0$. La condition

$$|x-a|\leq r$$

signifie que la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$. Le réel $x$ peut donc se déplacer de $r$ unités à gauche ou à droite de $a$.

Avec $a=2$ et $r=3$,

$$|x-2|\leq3 \Longleftrightarrow -1\leq x\leq5 \Longleftrightarrow x\in[-1\,;\,5].$$

Retrouver le centre et le rayon

Pour un intervalle fermé $[u\,;\,v]$, le centre est la moyenne des deux bornes :

$$a=\frac{u+v}{2}.$$

Le rayon est la moitié de la longueur de l’intervalle :

$$r=\frac{v-u}{2}.$$

Pour $[-1\,;\,5]$, on retrouve

$$a=\frac{-1+5}{2}=2 \qquad\text{et}\qquad r=\frac{5-(-1)}{2}=3.$$

Cas particuliers du rayon

Lorsque $r=0$, la condition $|x-a|\leq0$ impose une distance nulle. Sa seule solution est $x=a$, tandis que $|x-a|<0$ n’a aucune solution.

Lorsque $r<0$, les inéquations $|x-a|\leq r$ et $|x-a|<r$ n’ont aucune solution, car une valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Exercices

1. Résoudre une inéquation

Résoudre $|x+1|\leq2$.

Voir la correction de l’exercice 1

On écrit $|x+1|=|x-(-1)|$. Le centre est $-1$ et le rayon vaut $2$.

$$|x+1|\leq2 \Longleftrightarrow x\in[-1-2\,;\,-1+2] \Longleftrightarrow x\in[-3\,;\,1].$$

2. Passer d’un intervalle à une valeur absolue

Écrire l’appartenance $x\in[-3\,;\,5]$ sous la forme d’une inéquation avec une valeur absolue.

Voir la correction de l’exercice 2

Le centre de l’intervalle est

$$a=\frac{-3+5}{2}=1.$$

Son rayon vaut

$$r=\frac{5-(-3)}{2}=4.$$

Ainsi,

$$x\in[-3\,;\,5]\Longleftrightarrow |x-1|\leq4.$$

3. Travailler avec un intervalle ouvert

Résoudre $|x-2|<3$, puis représenter l’ensemble des solutions sur une droite graduée.

Voir la correction de l’exercice 3

Le centre est $2$ et le rayon vaut $3$ :

$$|x-2|<3 \Longleftrightarrow -1<x<5 \Longleftrightarrow x\in]-1\,;\,5[.$$

Sur une droite graduée, on trace la partie comprise entre $-1$ et $5$ avec deux crochets ouverts.

4. Étudier les cas limites

Résoudre successivement $|x-4|\leq0$, $|x-4|<0$ et $|x-4|\leq-1$.

Voir la correction de l’exercice 4

Une valeur absolue est positive ou nulle.

• $|x-4|\leq0$ impose $|x-4|=0$, donc $x=4$ ;
• $|x-4|<0$ n’a aucune solution ;
• $|x-4|\leq-1$ n’a aucune solution.

Les ensembles de solutions sont respectivement $\{4\}$, $\varnothing$ et $\varnothing$.

Première spécialité : fonction valeur absolue et lecture graphique

La courbe de $x\mapsto|x|$

La fonction $f:x\mapsto|x|$ est définie sur $\mathbb R$. Sa définition par morceaux indique que sa courbe est formée de deux demi-droites :

$$f(x)= \begin{cases} -x & \text{si }x<0,\\ x & \text{si }x\geq0. \end{cases}$$

La courbe forme un « V » de sommet $(0\,;\,0)$. Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées puisque $f(-x)=f(x)$.

La fonction est décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, puis croissante sur $[0\,;\,+\infty[$. Son minimum vaut $0$ et il est atteint en $x=0$.

Résoudre une équation graphiquement

Résoudre $|x|=2$ revient à chercher les intersections de la courbe $y=|x|$ et de la droite horizontale $y=2$.

On lit les abscisses $-2$ et $2$. Le calcul confirme que

$$|-2|=2 \qquad\text{et}\qquad |2|=2.$$

Translater la courbe

La fonction $x\mapsto|x-a|$ mesure la distance entre $x$ et $a$. Sa courbe a donc pour sommet $(a\,;\,0)$. Elle s’obtient en déplaçant horizontalement la courbe de $x\mapsto|x|$.

Combien une équation a-t-elle de solutions ?

Pour l’équation $|x-a|=r$, le nombre de solutions dépend du signe de $r$ :

• si $r>0$, les solutions sont $x=a-r$ et $x=a+r$ ;
• si $r=0$, l’unique solution est $x=a$ ;
• si $r<0$, il n’existe aucune solution.

Lorsque $r>0$, les deux solutions sont les deux points situés à la distance $r$ du centre $a$. Cette lecture géométrique aide à repérer une solution oubliée.

Exercices

1. Lire puis vérifier deux solutions

Résoudre graphiquement puis exactement $|x|=4$.

Voir la correction de l’exercice 1

La droite $y=4$ coupe la courbe $y=|x|$ aux abscisses $-4$ et $4$.

Algébriquement, les nombres situés à une distance $4$ de $0$ sont $-4$ et $4$. L’ensemble des solutions est donc

$$\{-4\,;\,4\}.$$

2. Utiliser le centre et le rayon

Résoudre $|x-3|=5$.

Voir la correction de l’exercice 2

Les solutions sont les deux nombres situés à une distance $5$ de $3$ :

$$x=3-5=-2 \qquad\text{ou}\qquad x=3+5=8.$$

Ainsi, l’ensemble des solutions est $\{-2\,;\,8\}$.

3. Discuter selon un paramètre

Selon la valeur du réel $r$, déterminer le nombre de solutions de $|x+2|=r$ et donner ces solutions lorsqu’elles existent.

Voir la correction de l’exercice 3

Le centre est $-2$.

• Si $r<0$, l’équation n’a aucune solution.
• Si $r=0$, elle a une solution : $x=-2$.
• Si $r>0$, elle a deux solutions :

$$x=-2-r \qquad\text{ou}\qquad x=-2+r.$$

Première spécialité : propriétés de calcul et résolution par cas

Produit et quotient

Pour tous réels $a$ et $b$,

$$|ab|=|a|\,|b|.$$

Si $b\neq0$, alors

$$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.$$

Ces propriétés viennent du fait que le produit ou le quotient des distances à $0$ donne encore un nombre positif ou nul. Elles permettent par exemple d’écrire

$$|-6x|=|-6|\,|x|=6|x|.$$

Pour justifier la première propriété, on remarque que $|ab|$ et $|a|\,|b|$ sont positifs ou nuls et que leurs carrés sont égaux :

$$|ab|^2=a^2b^2=(|a|\,|b|)^2.$$

Deux nombres positifs ou nuls qui ont le même carré sont égaux. La propriété du quotient se déduit de la même manière lorsque $b\neq0$.

Mettre une valeur absolue au carré

Pour toute expression réelle $A$,

$$|A|^2=A^2.$$

Mettre une valeur absolue au carré permet donc de retirer les barres. Cette propriété peut simplifier certains calculs. Par exemple,

$$|2x-1|^2=(2x-1)^2.$$

On peut également mettre au carré les deux membres d’une équation ou d’une inéquation lorsqu’ils sont tous les deux positifs ou nuls. Ainsi,

$$\begin{aligned} |2x-1|\leq5 &\Longleftrightarrow |2x-1|^2\leq5^2\\ &\Longleftrightarrow (2x-1)^2\leq25. \end{aligned}$$

Si le second membre dépend de $x$, il faut d’abord vérifier son signe. Plus précisément,

$$|A|=B \Longleftrightarrow \begin{cases} B\geq0,\\ A^2=B^2. \end{cases}$$

Sans la condition $B\geq0$, la mise au carré peut faire apparaître des solutions qui ne vérifient pas l’équation initiale.

Équations et inéquations usuelles

Pour $r>0$, les résultats principaux se regroupent ainsi :

Les deux premières inéquations décrivent les points proches du centre $a$. Les deux dernières décrivent les deux régions extérieures.

Pour aller plus loin : l’inégalité triangulaire

Pour tous réels $a$ et $b$,

$$|a+b|\leq|a|+|b|.$$

Cette propriété exprime qu’un trajet direct est au plus aussi long qu’un trajet effectué en deux étapes.

On peut aussi la justifier algébriquement. Les deux membres sont positifs ou nuls et

$$(|a|+|b|)^2-|a+b|^2 =2\bigl(|ab|-ab\bigr)\geq0.$$

On en déduit bien $|a+b|\leq|a|+|b|$.

Une méthode systématique par cas

Lorsque les deux membres d’une équation ou d’une inéquation dépendent de $x$, la lecture comme une distance ne suffit plus toujours. On peut alors suivre cette méthode :

1. chercher les valeurs qui annulent l’expression entre les barres ;
2. découper la droite réelle à l’aide de ces valeurs ;
3. retirer les barres avec la formule valable sur chaque intervalle ;
4. résoudre l’équation ou l’inéquation obtenue ;
5. conserver les solutions qui appartiennent à l’intervalle étudié ;
6. réunir les résultats.

Exemple : résoudre $|x-2|<x^2$

1. Conjecturer avec les courbes

On trace les courbes d’équations $y=|x-2|$ et $y=x^2$. Elles se coupent aux abscisses $-2$ et $1$.

La courbe de $y=|x-2|$ est sous la parabole lorsque $x<-2$ ou $x>1$. La lecture graphique suggère donc

$$x\in]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[.$$

2. Démontrer dans le cas $x<2$

Si $x<2$, alors $|x-2|=2-x$. Ainsi,

$$\begin{aligned} |x-2|<x^2 &\Longleftrightarrow 2-x<x^2\\ &\Longleftrightarrow x^2+x-2>0\\ &\Longleftrightarrow (x+2)(x-1)>0. \end{aligned}$$

Le produit est positif lorsque $x<-2$ ou $x>1$. En conservant les nombres qui vérifient la condition $x<2$, ce cas donne

$$x<-2 \qquad\text{ou}\qquad 1<x<2.$$

3. Démontrer dans le cas $x\geq2$

Si $x\geq2$, alors $|x-2|=x-2$. On obtient

$$\begin{aligned} |x-2|<x^2 &\Longleftrightarrow x-2<x^2\\ &\Longleftrightarrow x^2-x+2>0. \end{aligned}$$

Or

$$x^2-x+2= \left(x-\frac12\right)^2+\frac74>0.$$

Tous les réels $x\geq2$ conviennent.

4. Réunir les deux cas

En réunissant les résultats,

$$\boxed{x\in]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[}.$$

Le graphique permet de vérifier les valeurs frontières et le sens des inégalités. La preuve repose sur le signe des expressions du second degré obtenues dans chaque cas.

Exercices

1. Simplifier des valeurs absolues

Simplifier $|(-3)\times5|$, $|-6a|$ et $\left|\dfrac{-8}{2b}\right|$ pour $b\neq0$.

Voir la correction de l’exercice 1

Avec la propriété du produit,

$$|(-3)\times5|=|-3|\,|5|=3\times5=15$$

et

$$|-6a|=|-6|\,|a|=6|a|.$$

Pour le quotient,

$$\left|\frac{-8}{2b}\right| =\frac{|-8|}{|2b|} =\frac{8}{2|b|} =\frac4{|b|}.$$

2. Majorer une somme

On sait que $|u|\leq3$ et $|v|\leq5$. Montrer que $|u+v|\leq8$.

Voir la correction de l’exercice 2

L’inégalité triangulaire donne

$$|u+v|\leq|u|+|v|.$$

Comme $|u|\leq3$ et $|v|\leq5$,

$$|u+v|\leq3+5=8.$$

3. Résoudre une inéquation usuelle

Résoudre $|2x-1|\leq5$.

Voir la correction de l’exercice 3

La propriété des intervalles centrés donne

$$|2x-1|\leq5 \Longleftrightarrow -5\leq2x-1\leq5.$$

On ajoute $1$ aux trois membres puis on divise par $2$ :

$$-4\leq2x\leq6 \Longleftrightarrow -2\leq x\leq3.$$

L’ensemble des solutions est $[-2\,;\,3]$.

4. Comparer une valeur absolue et un carré

Résoudre $|x+2|\leq x^2$ en distinguant les cas $x<-2$ et $x\geq-2$.

Voir la correction de l’exercice 4

Si $x<-2$, alors $|x+2|=-x-2$. L’inéquation devient

$$x^2+x+2\geq0.$$

Or

$$x^2+x+2=\left(x+\frac12\right)^2+\frac74>0.$$

Tous les réels $x<-2$ conviennent.

Si $x\geq-2$, alors $|x+2|=x+2$. On résout

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)\geq0.$$

Le produit est positif ou nul pour $x\leq-1$ ou $x\geq2$. En tenant compte de $x\geq-2$, ce cas donne $[-2\,;\,-1]$ et $[2\,;\,+\infty[$.

La réunion des deux cas est

$$\boxed{x\in]-\infty\,;\,-1]\,\cup\,[2\,;\,+\infty[}.$$

Les valeurs $-1$ et $2$ donnent une égalité ; elles sont donc incluses.

5. Utiliser une mise au carré

Résoudre l’équation

$$|x+1|=2x+3$$

en étudiant d’abord le signe du second membre, puis en mettant les deux membres au carré.

Voir la correction de l’exercice 5

Le membre $|x+1|$ est positif ou nul. Pour que l’égalité soit possible, il faut donc que

$$2x+3\geq0 \Longleftrightarrow x\geq-\frac32.$$

Sous cette condition, les deux membres sont positifs ou nuls. On peut les mettre au carré :

$$\begin{aligned} |x+1|=2x+3 &\Longleftrightarrow (x+1)^2=(2x+3)^2\\ &\Longleftrightarrow \bigl((x+1)-(2x+3)\bigr) \bigl((x+1)+(2x+3)\bigr)=0\\ &\Longleftrightarrow (-x-2)(3x+4)=0. \end{aligned}$$

Les deux valeurs obtenues sont $x=-2$ et $x=-\dfrac43$. La première ne vérifie pas la condition $x\geq-\dfrac32$ : elle doit être écartée. La seconde vérifie bien l’équation initiale :

$$\left|-\frac43+1\right|=\frac13 \qquad\text{et}\qquad 2\left(-\frac43\right)+3=\frac13.$$

L’ensemble des solutions est donc

$$\boxed{S=\left\{-\frac43\right\}}.$$

Terminale spécialité : mesurer un écart en probabilités

Écart à l’espérance

Soit une variable aléatoire $X$ d’espérance $\mu$. La valeur absolue

$$|X-\mu|$$

mesure l’écart entre la valeur prise par $X$ et son espérance.

Pour $\delta>0$,

$$|X-\mu|<\delta \Longleftrightarrow \mu-\delta<X<\mu+\delta.$$

L’événement contraire décrit les valeurs éloignées de l’espérance :

$$|X-\mu|\geq\delta \Longleftrightarrow X\leq\mu-\delta \quad\text{ou}\quad X\geq\mu+\delta.$$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Si $X$ possède une variance $V(X)$ et si $\delta>0$, alors

Cette inégalité donne une majoration de la probabilité d’un grand écart. Elle ne donne généralement pas la probabilité exacte.

Supposons que $E(X)=50$ et $V(X)=16$. Pour un écart d’au moins $8$,

$$\mathbb P\bigl(|X-50|\geq8\bigr) \leq \frac{16}{8^2} =\frac14.$$

La probabilité que $X$ s’écarte de $50$ d’au moins $8$ est donc majorée par $25\,\%$. Par passage à l’événement contraire,

$$\mathbb P\bigl(|X-50|<8\bigr)\geq\frac34.$$

Moyenne d’un échantillon

Soit $M_n$ la moyenne d’un échantillon de taille $n$ formé de variables aléatoires indépendantes, de même espérance $\mu$ et de même variance $V$. L’inégalité de concentration donne, pour $\delta>0$,

$$\mathbb P\bigl(|M_n-\mu|\geq\delta\bigr) \leq \frac{V}{n\delta^2}.$$

Elle permet de choisir une taille d’échantillon en fonction d’une précision $\delta$ et d’un risque maximal.

Par exemple, si $V=16$, on souhaite que

$$\mathbb P\bigl(|M_n-\mu|\geq2\bigr)\leq0{,}04.$$

Il suffit d’imposer

$$\frac{16}{n\times2^2}\leq0{,}04 \Longleftrightarrow \frac4n\leq0{,}04 \Longleftrightarrow n\geq100.$$

Exercices

1. Traduire un événement

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $\mu=12$. Traduire l’événement $|X-12|<2{,}5$ sous la forme d’un encadrement. Décrire aussi l’événement contraire.

Voir la correction de l’exercice 1

$$|X-12|<2{,}5 \Longleftrightarrow 12-2{,}5<X<12+2{,}5.$$

L’événement s’écrit donc

$$9{,}5<X<14{,}5.$$

Son événement contraire est

$$X\leq9{,}5 \quad\text{ou}\quad X\geq14{,}5.$$

2. Majorer la probabilité d’un écart

Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X)=20$ et $V(X)=9$. Majorer

$$\mathbb P\bigl(|X-20|\geq6\bigr).$$

Voir la correction de l’exercice 2

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne

$$\mathbb P\bigl(|X-20|\geq6\bigr) \leq \frac{9}{6^2} =\frac9{36} =\frac14.$$

La probabilité cherchée est donc inférieure ou égale à $0{,}25$.

3. Déterminer une taille d’échantillon

On suppose que $V=25$. Déterminer une taille $n$ suffisante pour que

$$\mathbb P\bigl(|M_n-\mu|\geq1\bigr)\leq0{,}05.$$

Voir la correction de l’exercice 3

L’inégalité de concentration donne

$$\mathbb P\bigl(|M_n-\mu|\geq1\bigr) \leq \frac{25}{n}.$$

Il suffit donc que

$$\frac{25}{n}\leq0{,}05 \Longleftrightarrow n\geq\frac{25}{0{,}05} \Longleftrightarrow n\geq500.$$

Toute taille entière $n\geq500$ convient.

Pour aller plus loin : quantifier le rapprochement vers une limite

En terminale, les majorations et les recherches de seuils permettent aussi de préciser comment une fonction se rapproche de sa limite.

Pour $x\geq0$, posons

$$f(x)=\frac{2x+1}{x+1}.$$

L’écart entre $f(x)$ et $2$ vaut

$$\begin{aligned} |f(x)-2| &=\left|\frac{2x+1-2(x+1)}{x+1}\right|\\ &=\left|\frac{-1}{x+1}\right|\\ &=\frac1{x+1}. \end{aligned}$$

Comme $\frac1{x+1}$ tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$, l’écart entre $f(x)$ et $2$ tend vers $0$. On retrouve ainsi

$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=2.$$

Pour obtenir un écart strictement inférieur à $0{,}01$, on résout

$$\begin{aligned} |f(x)-2|<0{,}01 &\Longleftrightarrow \frac1{x+1}<\frac1{100}\\ &\Longleftrightarrow x+1>100\\ &\Longleftrightarrow x>99. \end{aligned}$$

À $x=99$, l’écart vaut exactement $0{,}01$. La borne est exclue puisque l’inégalité demandée est stricte.

Défis : se préparer aux études supérieures

Les exercices suivants combinent plusieurs idées de la leçon. Une valeur absolue imbriquée se traite en général de l’extérieur vers l’intérieur. Pour une fonction, l’interprétation en termes de distance ou l’étude par intervalles permet souvent d’éviter une succession de calculs.

1. Une équation avec deux valeurs absolues imbriquées

Résoudre dans $\mathbb R$ :

$$\bigl||x-1|-2\bigr|=1.$$

Voir la correction du défi 1

Posons $u=|x-1|$. Comme $u\geq0$, l’équation extérieure devient

$$|u-2|=1.$$

Elle équivaut à

$$u-2=1 \qquad\text{ou}\qquad u-2=-1,$$

donc à $u=3$ ou $u=1$. On revient ensuite à $x$ :

$$\begin{aligned} |x-1|=3&\Longleftrightarrow x=-2\text{ ou }x=4,\\ |x-1|=1&\Longleftrightarrow x=0\text{ ou }x=2. \end{aligned}$$

Ainsi,

$$\boxed{S=\{-2\,;\,0\,;\,2\,;\,4\}}.$$

2. Une inéquation imbriquée

Résoudre dans $\mathbb R$ :

$$\bigl||x|-2\bigr|\leq1.$$

Voir la correction du défi 2

On commence par retirer la valeur absolue extérieure :

$$\begin{aligned} \bigl||x|-2\bigr|\leq1 &\Longleftrightarrow -1\leq|x|-2\leq1\\ &\Longleftrightarrow 1\leq|x|\leq3. \end{aligned}$$

La dernière condition signifie que la distance entre $x$ et $0$ est comprise entre $1$ et $3$. On obtient donc

$$\boxed{S=[-3\,;\,-1]\,\cup\,[1\,;\,3]}.$$

3. Le minimum d’une fonction

On considère la fonction définie sur $\mathbb R$ par

$$f(x)=|x-1|+|x+2|.$$

Déterminer la valeur minimale de $f$ et tous les réels en lesquels elle est atteinte.

Voir la correction du défi 3

$|x-1|$ est la distance entre $x$ et $1$, tandis que $|x+2|$ est la distance entre $x$ et $-2$. Si $x$ appartient à $[-2\,;\,1]$, la somme de ces deux distances vaut la distance entre $-2$ et $1$, donc $3$.

Un calcul par intervalles confirme cette lecture :

$$f(x)= \begin{cases} -2x-1 & \text{si }x\leq-2,\\ 3 & \text{si }-2\leq x\leq1,\\ 2x+1 & \text{si }x\geq1. \end{cases}$$

Sur les deux intervalles extérieurs, ces expressions sont supérieures ou égales à $3$. La valeur minimale de $f$ est donc

$$\boxed{3},$$

et elle est atteinte pour tout $x\in[-2\,;\,1]$.

4. Une équation portant sur une fonction

Déterminer toutes les fonctions continues $f:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que, pour tout réel $x$,

$$|f(x)|=|x|.$$

Voir la correction du défi 4

Pour chaque réel $x$, l’égalité impose

$$f(x)=x \qquad\text{ou}\qquad f(x)=-x.$$

Elle donne aussi $f(0)=0$.

Sur l’intervalle $]0\,;\,+\infty[$, la fonction $f$ ne s’annule jamais. Si elle changeait de signe sur cet intervalle, le théorème des valeurs intermédiaires imposerait l’existence d’un réel $c>0$ tel que $f(c)=0$. On aurait alors $|f(c)|=0$ et $|c|>0$, ce qui contredirait l’égalité demandée.

Ainsi, sur $]0\,;\,+\infty[$, on a partout $f(x)=x$ ou partout $f(x)=-x$. Le même raisonnement sur $]-\infty\,;\,0[$ donne deux choix indépendants. On obtient finalement quatre fonctions :

$$\boxed{f(x)=x,\qquad f(x)=-x,\qquad f(x)=|x|, \qquad f(x)=-|x|.}$$

Ces quatre fonctions sont bien continues sur $\mathbb R$ et vérifient $|f(x)|=|x|$ pour tout réel $x$.

Pièges à repérer

• Calculer d’abord toute l’expression placée entre les barres.
• Écrire $\sqrt{x^2}=|x|$ tant que le signe de $x$ n’est pas connu.
• Ne pas distribuer une valeur absolue sur une somme.
• Vérifier le signe du rayon avant de résoudre $|x-a|\leq r$ ou $|x-a|=r$.
• Dans une résolution par cas, conserver la condition du cas jusqu’à la fin.