Formulaire de trigonométrie — Prépa et concours

Ces trois rapports définissent les lignes trigonométriques d’un angle aigu dans un triangle rectangle. Ils ne dépendent pas de la taille du triangle : deux triangles rectangles possédant le même angle aigu sont semblables, donc leurs côtés correspondants sont proportionnels.

Ainsi, lorsque le triangle est agrandi ou réduit, le numérateur et le dénominateur de chaque rapport sont multipliés par le même nombre. Le quotient reste inchangé.

Dans un triangle rectangle, notons $a$ le côté adjacent, $o$ le côté opposé et $h$ l’hypoténuse. En divisant les deux rapports, on obtient

La mesure en radians est définie par le rapport entre la longueur de l’arc et le rayon. Un tour complet a pour longueur $2\pi r$, donc mesure $(2\pi r)/r=2\pi$ radians. Ce même tour vaut $360^\circ$, d’où $\pi$ radians pour $180^\circ$. Les conversions découlent ensuite d’une proportionnalité.

Par définition, le cosinus de $x$ est l’abscisse du point obtenu après un déplacement angulaire de $x$ radians sur le cercle unité, et son sinus est l’ordonnée de ce point.

La relation $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ découle alors immédiatement de l’équation du cercle unité.

Dans un triangle rectangle de côtés adjacent $a$, opposé $o$ et d’hypoténuse $h$, le théorème de Pythagore donne $a^2+o^2=h^2$. En divisant par $h^2$, on trouve

soit $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$. Sur le cercle trigonométrique, c’est simplement l’équation $x^2+y^2=1$ du cercle unité.

Pour $\pi/4$, un triangle rectangle isocèle de côtés $1,1,\sqrt2$ donne $\cos(\pi/4)=\sin(\pi/4)=1/\sqrt2=\sqrt2/2$.

Pour $\pi/3$, on coupe un triangle équilatéral de côté $2$ en deux. Le triangle rectangle obtenu a pour côtés $1,\sqrt3,2$, donc $\cos(\pi/3)=1/2$ et $\sin(\pi/3)=\sqrt3/2$. Les valeurs en $\pi/6$ s’en déduisent en échangeant sinus et cosinus.

Deux points du cercle unité ont la même abscisse lorsqu’ils sont confondus ou symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Cela donne les deux familles de solutions pour le cosinus, auxquelles on ajoute un nombre entier de tours.

Pour le sinus, on raisonne de même avec l’ordonnée et la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Enfin, la tangente est de période $\pi$ et prend une seule fois chaque valeur sur tout intervalle où elle est continue entre deux asymptotes consécutives.

Sur le cercle trigonométrique, les points d’angles $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : leur abscisse est identique et leur ordonnée opposée. Cela donne la parité du cosinus et l’imparité du sinus, puis celle de la tangente.

Ajouter $2k\pi$ revient à effectuer $k$ tours complets. Pour la tangente, un demi-tour change simultanément les signes du sinus et du cosinus : leur quotient reste donc inchangé.

Le point d’angle $\pi-x$ est le symétrique du point d’angle $x$ par rapport à l’axe des ordonnées : son cosinus change de signe et son sinus est conservé. Un demi-tour, correspondant à l’ajout de $\pi$, change les deux coordonnées de signe.

Enfin, les angles $x$ et $\pi/2-x$ sont complémentaires. La symétrie par rapport à la droite $y=x$ échange leurs abscisses et leurs ordonnées, donc échange cosinus et sinus.

Cette égalité est la définition géométrique du produit scalaire. Si l’on projette orthogonalement $\vec v$ sur la direction de $\vec u$, la longueur algébrique de la projection vaut $\lVert\vec v\rVert\cos(\theta)$. Le produit par $\lVert\vec u\rVert$ donne alors $\vec u\cdot\vec v$.

Avec $\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}$, on développe le carré de la norme :

Or l’angle entre $\vec{BA}$ et $\vec{AC}$ vaut $\pi-A$, donc leur produit scalaire vaut $bc\cos(\pi-A)=-bc\cos A$. On obtient bien la formule.

À partir de la formule d’addition, on écrit

Lorsque $h$ tend vers $0$, les limites $\frac{\sin h}{h}\to1$ et $\frac{\cos h-1}{h}\to0$ donnent $(\sin x)'=\cos x$. Le même calcul appliqué au cosinus donne $(\cos x)'=-\sin x$.

Une primitive de $f$ est une fonction dont la dérivée vaut $f$. Comme $(\sin x)'=\cos x$, les primitives de $\cos x$ sont $\sin x+C$. De même, $(-\cos x)'=\sin x$, ce qui donne la seconde formule.

La règle de dérivation d’un quotient donne

Par ailleurs, $(\ln|\cos x|)'=-\sin x/\cos x=-\tan x$ sur tout intervalle où le cosinus ne s’annule pas, ce qui fournit la primitive de la tangente.

Les fonctions sinus, cosinus et tangente ne sont pas injectives sur tout $\mathbb R$. On les restreint donc à des intervalles où elles sont continues et strictement monotones : respectivement $[-\pi/2,\pi/2]$, $[0,\pi]$ et $]-\pi/2,\pi/2[$. Elles y admettent une fonction réciproque, ce qui définit $\arcsin$, $\arccos$ et $\arctan$.

Si $y=\arcsin x$, alors $\sin y=x$ avec $y\in[-\pi/2,\pi/2]$. En dérivant, on obtient $\cos y\,y'=1$. Sur cet intervalle, $\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}$, d’où la première formule. Le même raisonnement donne les deux autres dérivées.

Les relations de symétrie proviennent de l’imparité du sinus et de la tangente, ainsi que de $\cos(\pi-y)=-\cos y$.

Les trois fonctions sont définies à partir de l’exponentielle. En développant,

L’identité fondamentale est donc une conséquence directe de $\mathrm e^x\mathrm e^{-x}=1$.

Les dérivées suivent de $(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x$ et $(\mathrm e^{-x})'=-\mathrm e^{-x}$. Pour l’addition, on remplace chaque fonction hyperbolique par sa définition et on utilise $\mathrm e^{a+b}=\mathrm e^a\mathrm e^b$. Les formules de duplication sont les cas particuliers obtenus avec $a=b=x$.

Pour retrouver les expressions logarithmiques, on résout les équations $y=\operatorname{sh}x$, $y=\operatorname{ch}x$ et $y=\operatorname{th}x$ en posant $X=\mathrm e^x>0$.

Les deux premières deviennent des équations du second degré en $X$ ; on garde la racine positive compatible avec le domaine. Pour la troisième, $y=(X^2-1)/(X^2+1)$ donne $X^2=(1+y)/(1-y)$, puis on applique le logarithme.

Si $f$ est une bijection dérivable et si sa dérivée ne s’annule pas, alors

On applique cette relation à $\operatorname{sh}$, $\operatorname{ch}_{|[0,+\infty[}$ et $\operatorname{th}$, puis on utilise $\operatorname{ch}^2u-\operatorname{sh}^2u=1$ et $1-\operatorname{th}^2u=1/\operatorname{ch}^2u$. Les propriétés de composition découlent directement des domaines choisis pour chaque bijection réciproque.

Pour $0<x<\pi/2$, une comparaison géométrique des aires dans le cercle unité donne $\cos x\leq\sin x/x\leq1$. Le théorème d’encadrement, puis l’imparité du sinus, fournissent la première limite sans utiliser de dérivée. Comme $\tan x/\sin x=1/\cos x$, on obtient ensuite la limite de $\tan x/x$ ; enfin $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ donne la limite en $1/2$.

Pour les fonctions réciproques, on pose $y=\arcsin x$ ou $y=\arctan x$ et on se ramène aux deux premières limites. Les limites hyperboliques découlent de leurs définitions exponentielles ; enfin $\operatorname{ch}x-1=2\operatorname{sh}^2(x/2)$ fournit la dernière limite.

La formule de Taylor-Young appliquée en $0$ donne directement les développements de sinus et de cosinus à partir du cycle de leurs dérivées. Celui de la tangente s’obtient ensuite en effectuant la division des développements de $\sin x$ et de $\cos x$, puisque $\tan x=\sin x/\cos x$ et $\cos 0=1$.

On détermine le développement de $\arcsin$ en composant une série impaire inconnue avec celle de $\sin$ et en imposant $\sin(\arcsin x)=x$. Pour $\arctan$, on peut intégrer le développement géométrique de sa dérivée $1/(1+x^2)$.

Les développements de $\operatorname{sh}$ et $\operatorname{ch}$ résultent immédiatement de leurs définitions avec $\mathrm e^x$ et $\mathrm e^{-x}$ ; celui de $\operatorname{th}$ s’obtient par quotient. Enfin, on retrouve les développements d’$\operatorname{argsh}$ et d’$\operatorname{argth}$ en composant avec les fonctions directes, ou en intégrant leurs dérivées.

La formule d’Euler se justifie, par exemple, en comparant les développements en série entière de l’exponentielle, du sinus et du cosinus. En lui appliquant $x$ puis $-x$, l’addition et la soustraction des deux égalités isolent le cosinus et le sinus.

Enfin, la propriété $e^{inx}=(e^{ix})^n$, combinée à la formule d’Euler, donne immédiatement la formule de Moivre.

On utilise la formule d’Euler et le produit des exponentielles :

En identifiant les parties réelle et imaginaire, on obtient les formules pour $a+b$. Les formules de soustraction suivent en remplaçant $b$ par $-b$ et en utilisant la parité du cosinus et l’imparité du sinus.

Il suffit de poser $a=b=x$ dans les formules d’addition. On obtient $\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x$ et $\sin(2x)=2\sin x\cos x$. Les deux autres écritures du cosinus se déduisent de $\cos^2x+\sin^2x=1$.

Enfin,

après division du numérateur et du dénominateur par $\cos^2x$.

On part de $\tan(a+b)=\sin(a+b)/\cos(a+b)$, puis on remplace le sinus et le cosinus par leurs formules d’addition. En divisant le numérateur et le dénominateur par $\cos a\cos b$, on obtient

La formule de soustraction se déduit en remplaçant $b$ par $-b$.

Les deux écritures de la formule de duplication donnent $\cos(2x)=2\cos^2x-1$ et $\cos(2x)=1-2\sin^2x$. Il suffit d’isoler respectivement $\cos^2x$ et $\sin^2x$.

Comme $1+t^2=1/\cos^2(\theta/2)$, les formules de duplication donnent

et

Le quotient de ces deux égalités fournit la formule de $\tan\theta$. L’écriture complexe s’obtient en réunissant $\cos\theta$ et $\mathrm i\sin\theta$. Enfin, $\mathrm dt=\frac12(1+t^2)\,\mathrm d\theta$, d’où la dernière relation.

On écrit les formules d’addition pour $a+b$ et $a-b$. Leur somme ou leur différence permet d’éliminer l’un des deux produits. Par exemple,

Les deux autres identités s’obtiennent de la même manière.

Dans les formules transformant les produits en sommes, on pose $a=(p+q)/2$ et $b=(p-q)/2$. Alors $a+b=p$ et $a-b=q$. Après substitution et multiplication par $2$, on obtient les quatre identités.

La formule de soustraction donne

Avec $R\cos\varphi=a$ et $R\sin\varphi=b$, le membre de droite devient $a\cos x+b\sin x$. Un tel angle $\varphi$ existe car $(a/R)^2+(b/R)^2=1$.

Pour $C_n$, une intégration par parties avec $u=\cos^{n-1}t$ et $\mathrm dv=\cos t\,\mathrm dt$ donne

On remplace $\sin^2t$ par $1-\cos^2t$, puis on regroupe les deux occurrences de $C_n$. Le calcul de $S_n$ est analogue en échangeant sinus et cosinus.

Le changement de variable $u=\pi/2-x$ échange sinus et cosinus. Une intégration par parties fournit ensuite $W_n=(n-1)W_{n-2}/n$. En itérant séparément pour les indices pairs et impairs, on obtient les deux expressions factorielles.

Enfin, $W_{n+2}\leq W_{n+1}\leq W_n$ et $W_{n+2}/W_n=(n+1)/(n+2)$ donnent $W_{n+1}\sim W_n$. La relation exacte $W_nW_{n+1}=\pi/[2(n+1)]$ permet alors d’en déduire l’équivalent.

Les formules produit-somme transforment chaque produit en une combinaison de $\cos((m-n)x)$ et $\cos((m+n)x)$, ou de sinus de fréquences entières. L’intégrale d’un sinus ou d’un cosinus de fréquence entière non nulle sur $[0,2\pi]$ vaut zéro. Lorsque $m=n$, le terme constant restant donne $\pi$.

La dernière relation se vérifie directement avec une primitive de $\mathrm e^{\mathrm ikx}$ lorsque $k\ne0$.